Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{x^{3} \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \sec (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\sec (t) \tan (t)$ dương.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sec (t) \tan (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $\sec (t) \tan (t)$ ra ngoài $\sec^{3} (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t) (\sec^{2} (t))} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t) \sec^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t)} d t$

Bước 2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t)} d t$

Bước 2.2.2.2

Viết lại $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\sec (t)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\sec (t)})}^{2} d t$

Bước 2.2.2.3

Viết lại $\sec (t)$ theo sin và cosin.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

Bước 2.2.2.4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int {(1 \cos (t))}^{2} d t$

Bước 2.2.2.5

Nhân $\cos (t)$ với $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

Bước 3

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 7

Giả sử $u = 2 t$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = 2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 7.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 8

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Bước 10

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 11

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 12

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 12.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Bước 12.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (x))) + C$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 arcsec (x))$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}) + C$

Bước 13.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} arcsec (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2} + C$

Bước 13.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $arcsec (x)$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2} + C$

Bước 13.4

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2 \cdot 2} + C$

Bước 13.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{4} + C$

Bước 14

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} arcsec (x) + \frac{1}{4} \sin (2 arcsec (x)) + C$