Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{\sqrt{x - x^{2}}} d x$

Bước 1

Đưa $x$ ra ngoài $x - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{1} - x^{2}}} d x$

Bước 1.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 1 - x^{2}}} d x$

Bước 1.3

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 1 + x (- x)}} d x$

Bước 1.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x (1 - x)}} d x$

Bước 2

Hoàn thành bình phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \cdot 1 + x (- x)$

Bước 2.1.2

Nhân $x$ với $1$ .

$x + x (- x)$

Bước 2.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x - x \cdot x$

Bước 2.1.4

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Di chuyển $x$ .

$x - (x \cdot x)$

Bước 2.1.4.2

Nhân $x$ với $x$ .

$x - x^{2}$

Bước 2.1.5

Sắp xếp lại $x$ và $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x$

Bước 2.2

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

Bước 2.3

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 2.4

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d = - \frac{1}{2}$

Bước 2.5

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

Bước 2.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Bước 2.5.2.1.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

Bước 2.5.2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

Bước 2.5.2.1.4

Nhân $- - \frac{1}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

Bước 2.5.2.1.4.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{4}$

Bước 2.5.2.2

Cộng $0$ và $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4}$

Bước 2.6

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}}} d x$

Bước 3

Giả sử $u = x - \frac{1}{2}$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = x - \frac{1}{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $x - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - \frac{1}{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Bước 3.1.4

Vì $- \frac{1}{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- \frac{1}{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 3.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1}{4}}} d u$

Bước 4

Viết biểu thức bằng số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{4}}} d u$

Bước 4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}} d u$

Bước 5

Viết lại $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ ở dạng ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}} d u$

Bước 6

Sắp xếp lại $- u^{2}$ và ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}} d u$

Bước 7

Tích phân của $\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}}$ đối với $u$ là $\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}})$

$\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (u \cdot 2) + C$

Bước 8.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\arcsin (2 u) + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - \frac{1}{2}$ .

$\arcsin (2 (x - \frac{1}{2})) + C$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\arcsin (2 x + 2 (- \frac{1}{2})) + C$

Bước 10.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

Bước 10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

Bước 10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\arcsin (2 x - 1) + C$