Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Bước 3

Di chuyển $x^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{2}} + 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Bước 4

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Bước 4.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Bước 4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int (x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 5.3

Để viết $\frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 5.4

Để viết $- \frac{1}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 5.5

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 5.5.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\int x^{\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 5.5.3

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 5.5.4

Nhân $3$ với $2$ .

$\int x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 5.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int x^{\frac{3 - 2}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 5.7

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\int x^{\frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 5.8

Nhân $x^{- \frac{1}{3}}$ với $1$ .

$\int x^{\frac{1}{6}} + x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{\frac{1}{6}} d x + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{6}}$ đối với $x$ là $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 9

Rút gọn.

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$