Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\sec^{2} (t)$ dương.

$\int \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 2.1.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t)}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 2.1.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $\tan (t)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 2.2.2

Viết lại $\sec (t)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 2.2.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 2.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 2.2.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (t)}$ sang $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) \sec^{2} (t) d t$

Bước 3

Nâng $\csc (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \csc^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Bước 4

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sec^{2} (t)$ ở dạng $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\int \csc^{1} (t) (1 + \tan^{2} (t)) d t$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \csc^{1} (t) \cdot 1 + \csc^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

$\int \csc (t) + \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \csc (t) d t + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Bước 7

Tích phân của $\csc (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Bước 8

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\csc (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \tan^{2} (t) d t$

Bước 9

Viết $\tan (t)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} d t$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}} d t$

Bước 10.2

Kết hợp.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 {\sin (t)}^{2}}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Bước 10.3

Triệt tiêu thừa số chung của ${\sin (t)}^{2}$ và $\sin (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Đưa $\sin (t)$ ra ngoài $1 {\sin (t)}^{2}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Bước 10.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Đưa $\sin (t)$ ra ngoài $\sin (t) {\cos (t)}^{2}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) ({\cos (t)}^{2})} d t$

Bước 10.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Bước 10.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 \sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} d t$

Bước 10.4

Nhân $\sin (t)$ với $1$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Bước 11

Nhân với $1$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos^{2} (t)} d t$

Bước 12

Đưa $\cos (t)$ ra ngoài $\cos^{2} (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos (t) \cos (t)} d t$

Bước 13

Tách các phân số.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} d t$

Bước 14

Quy đổi từ $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ sang $\tan (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \frac{1}{\cos (t)} d t$

Bước 15

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (t)}$ sang $\sec (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \sec (t) d t$

Bước 16

Vì đạo hàm của $\sec (t)$ là $\tan (t) \sec (t)$ , tích phân của $\tan (t) \sec (t)$ là $\sec (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \sec (t) + C$

Bước 17

Rút gọn.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + \sec (t) + C$

Bước 18

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arctan (x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$