Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân với $1$ .

$\int \frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\cos^{3} (x)} d x$

Bước 1.2

Đưa $\cos^{2} (x)$ ra ngoài $\cos^{3} (x)$ .

$\int \frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\cos^{2} (x) \cos (x)} d x$

Bước 1.3

Tách các phân số.

$\int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} d x$

Bước 1.4

Quy đổi từ $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ sang $\tan^{2} (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (x)} \tan^{2} (x) d x$

Bước 1.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

Bước 2

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \tan^{2} (x) d x$

Bước 3

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (x)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{1} (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Bước 4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \sec^{1} (x) \cdot - 1 + \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) d x$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

$\int - \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x$

Bước 7

Tích phân của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x$

Bước 8

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec^{3} (x)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

Bước 9

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sec (x)$ và $d v = \sec^{2} (x)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

Bước 10

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

Bước 11

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

Bước 12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Bước 13

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Cộng $1$ và $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

Bước 13.2

Sắp xếp lại $\tan^{2} (x)$ và $\sec (x)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

Bước 14

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (x)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Bước 15

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

Bước 15.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Bước 15.3

Sắp xếp lại $\sec (x)$ và $- 1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Bước 16

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

Bước 17

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

Bước 18

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Bước 19

Cộng $1$ và $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

Bước 20

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

Bước 21

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

Bước 22

Cộng $2$ và $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

Bước 23

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Bước 24

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Bước 25

Tích phân của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

Bước 26

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Bước 26.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Bước 27

Khi giải tìm $\int \sec^{3} (x) d x$ , chúng ta thấy rằng $\int \sec^{3} (x) d x$ = $\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

Bước 28

Nhân $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ với $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

Bước 29

Rút gọn.

$- \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + \frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$