Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Bước 1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{3}}} d x$

Bước 2

Giả sử $x = 2 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 2 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $2 \cos (t)$ dương.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (2^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (4 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.1.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 \cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.7

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.8

Nhân các số mũ trong ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.8.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.8.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 \cos^{6} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.9

Viết lại $64 \cos^{6} (t)$ ở dạng ${(8 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(8 \cos^{3} (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.10

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{8 \cos^{3} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Bước 3.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 \cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Đưa $2 \cos (t)$ ra ngoài $8 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Bước 3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Bước 3.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Bước 3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(2 (\sin (t)))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Bước 3.2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (\sin (t))$ .

$\int \frac{2^{2} \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Bước 3.2.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Bước 3.2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Bước 3.2.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Bước 3.2.2.5

Quy đổi từ $\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ sang $\tan^{2} (t)$ .

$\int \tan^{2} (t) d t$

Bước 4

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (t)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

Bước 7

Vì đạo hàm của $\tan (t)$ là $\sec^{2} (t)$ , tích phân của $\sec^{2} (t)$ là $\tan (t)$ .

$- t + C + \tan (t) + C$

Bước 8

Rút gọn.

$- t + \tan (t) + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{2}) + \tan (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

Bước 10

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \arcsin (\frac{1}{2} x) + \tan (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$