Giải tích Ví dụ

$\int \frac{4 x + 7}{{(6 x^{2} + 21 x)}^{4}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 6 x^{2} + 21 x$ . Sau đó $d u = (12 x + 21) d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = (4 x + 7) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 6 x^{2} + 21 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $6 x^{2} + 21 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 21 x]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x^{2} + 21 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{2}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [21 x]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [21 x]$

Bước 1.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [21 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $21$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $21 x$ đối với $x$ là $21 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x + 21 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$12 x + 21 \cdot 1$

Bước 1.1.4.3

Nhân $21$ với $1$ .

$12 x + 21$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{u^{4}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u^{4} \cdot 3} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u^{4}$ .

$\int \frac{1}{3 u^{4}} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $u^{4}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{4})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Bước 4.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{- 4} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 4}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ ở dạng $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $\frac{1}{u^{3}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

Bước 6.2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u^{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

Bước 6.2.3

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$- \frac{1}{3 (3 u^{3})} + C$

Bước 6.2.4

Nhân $3$ với $3$ .

$- \frac{1}{9 u^{3}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $6 x^{2} + 21 x$ .

$- \frac{1}{9 {(6 x^{2} + 21 x)}^{3}} + C$