Giải tích Ví dụ

$\int \frac{27 t^{3} - 1}{\sqrt[3]{t}} d t$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{27 t^{3} - 1}{t^{\frac{1}{3}}} d t$

Bước 2

Di chuyển $t^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (27 t^{3} - 1) {(t^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d t$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${(t^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (27 t^{3} - 1) t^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d t$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$\int (27 t^{3} - 1) t^{\frac{- 1}{3}} d t$

Bước 3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int (27 t^{3} - 1) t^{- \frac{1}{3}} d t$

Bước 4

Khai triển $(27 t^{3} - 1) t^{- \frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 27 t^{3} t^{- \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Bước 4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 27 t^{3 - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Bước 4.3

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\int 27 t^{3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Bước 4.4

Kết hợp $3$ và $\frac{3}{3}$ .

$\int 27 t^{\frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Bước 4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int 27 t^{\frac{3 \cdot 3 - 1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Bước 4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Nhân $3$ với $3$ .

$\int 27 t^{\frac{9 - 1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Bước 4.6.2

Trừ $1$ khỏi $9$ .

$\int 27 t^{\frac{8}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 27 t^{\frac{8}{3}} d t + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Bước 6

Vì $27$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $27$ ra khỏi tích phân.

$27 \int t^{\frac{8}{3}} d t + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{\frac{8}{3}}$ đối với $t$ là $\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}}$ .

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) - \int t^{- \frac{1}{3}} d t$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{- \frac{1}{3}}$ đối với $t$ là $\frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}}$ .

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) - (\frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

$27 (\frac{3}{11}) t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Kết hợp $27$ và $\frac{3}{11}$ .

$\frac{27 \cdot 3}{11} t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 10.2.2

Nhân $27$ với $3$ .

$\frac{81}{11} t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$