Giải tích Ví dụ

$\int \sec^{4} (5 x) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 5 x$ . Sau đó $d u_{1} = 5 d x$ , nên $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 5 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 1.1.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $5$ với $1$ .

$5$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

Bước 2

Kết hợp $\sec^{4} (u_{1})$ và $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\sec^{4} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} \int \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $4$ ở dạng $2$ cộng $2$

$\frac{1}{5} \int {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

Bước 4.2

Viết lại ${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ ở dạng $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} \int \sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 5

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sec^{2} (u_{1})$ ở dạng $1 + \tan^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} \int (1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 6

Giả sử $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Sau đó $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Bước 6.1.2

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} \int 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{5} (\int d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{5} (u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{5} (u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

$\frac{1}{5} (u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Bước 11

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} (\tan (u_{1}) + \frac{1}{3} \tan^{3} (u_{1})) + C$

Bước 11.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $5 x$ .

$\frac{1}{5} (\tan (5 x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (5 x)) + C$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\tan^{3} (5 x)$ .

$\frac{1}{5} (\tan (5 x) + \frac{\tan^{3} (5 x)}{3}) + C$

Bước 12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{5} \tan (5 x) + \frac{1}{5} \cdot \frac{\tan^{3} (5 x)}{3} + C$

Bước 12.3

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $\tan (5 x)$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{\tan^{3} (5 x)}{3} + C$

Bước 12.4

Kết hợp.

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{1 \tan^{3} (5 x)}{5 \cdot 3} + C$

Bước 12.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Nhân $\tan^{3} (5 x)$ với $1$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{\tan^{3} (5 x)}{5 \cdot 3} + C$

Bước 12.5.2

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{\tan^{3} (5 x)}{15} + C$

Bước 13

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{5} \tan (5 x) + \frac{1}{15} \tan^{3} (5 x) + C$