Giải tích Ví dụ

$\int \tan^{5} (x) \sec^{7} (x) d x$

Bước 1

Đưa $\tan^{4} (x)$ ra ngoài.

$\int \tan^{4} (x) \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Bước 2

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Bước 2.2

Viết lại ${\tan (x)}^{2 (2)}$ dưới dạng số mũ.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Bước 3

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (x)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Bước 4

Giả sử $u = \sec (x)$ . Sau đó $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = \sec (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int {(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6} d u$

Bước 5

Khai triển ${(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại ${(- 1 + u^{2})}^{2}$ ở dạng $(- 1 + u^{2}) (- 1 + u^{2})$ .

$\int (- 1 + u^{2}) (- 1 + u^{2}) u^{6} d u$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (- 1 (- 1 + u^{2}) + u^{2} (- 1 + u^{2})) u^{6} d u$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2} + u^{2} (- 1 + u^{2})) u^{6} d u$

Bước 5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2} + u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Bước 5.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2}) u^{6} + (u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Bước 5.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + (u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Bước 5.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} \cdot - 1 u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Bước 5.8

Sắp xếp lại $u^{2}$ và $- 1$ .

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 \cdot u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Bước 5.9

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Bước 5.10

Nhân $u^{6}$ với $1$ .

$\int u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Bước 5.11

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int u^{6} - (u^{2} u^{6}) - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Bước 5.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{6} - u^{2 + 6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Bước 5.13

Cộng $2$ và $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Bước 5.14

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int u^{6} - u^{8} - (u^{2} u^{6}) + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Bước 5.15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{2 + 6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Bước 5.16

Cộng $2$ và $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Bước 5.17

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{2 + 2} u^{6} d u$

Bước 5.18

Cộng $2$ và $2$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{4} u^{6} d u$

Bước 5.19

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{4 + 6} d u$

Bước 5.20

Cộng $4$ và $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{10} d u$

Bước 5.21

Trừ $u^{8}$ khỏi $- u^{8}$ .

$\int u^{6} - 2 u^{8} + u^{10} d u$

Bước 5.22

Sắp xếp lại $- 2 u^{8}$ và $u^{10}$ .

$\int u^{6} + u^{10} - 2 u^{8} d u$

Bước 5.23

Di chuyển $u^{6}$ .

$\int u^{10} - 2 u^{8} + u^{6} d u$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u^{10} d u + \int - 2 u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{10}$ đối với $u$ là $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C + \int - 2 u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Bước 8

Vì $- 2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 \int u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{8}$ đối với $u$ là $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \int u^{6} d u$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{6}$ đối với $u$ là $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{1}{9}$ và $u^{9}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{u^{9}}{9} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

$\frac{u^{11}}{11} - \frac{2 u^{9}}{9} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (x)$ .

$\frac{\sec^{11} (x)}{11} - \frac{2 \sec^{9} (x)}{9} + \frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$

Bước 13

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{11} \sec^{11} (x) - \frac{2}{9} \sec^{9} (x) + \frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$