Giải tích Ví dụ

$\int e^{\sqrt{3 x + 9}} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 3 x + 9$ . Sau đó $d u_{1} = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 3 x + 9$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 x + 9$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 9]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$3 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$3$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int e^{\sqrt{u_{1}}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Bước 2

Kết hợp $e^{\sqrt{u_{1}}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{\sqrt{u_{1}}}}{3} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int e^{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Bước 4

Giả sử $u_{2} = \sqrt{u_{1}}$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , nên $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int 2 u_{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 5

Vì $2$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} (2 \int u_{2} e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 6

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} \int u_{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 7

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = u_{2}$ và $dv = e^{u_{2}}$ .

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 8

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - (e^{u_{2}} + C))$

Bước 9

Rút gọn.

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - e^{u_{2}}) + C$

Bước 10

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sqrt{u_{1}}$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{u_{1}} e^{\sqrt{u_{1}}} - e^{\sqrt{u_{1}}}) + C$

Bước 10.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x + 9$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}} - e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Bước 11.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 x + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x) + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Bước 11.2.2

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 3 \cdot 3} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Bước 11.2.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 x + 3 \cdot 3$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Bước 11.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 x + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x) + 9}}) + C$

Bước 11.3.2

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}) + C$

Bước 11.3.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 x + 3 \cdot 3$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Bước 11.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x) + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Bước 11.4.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Bước 11.4.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 x + 3 \cdot 3$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Bước 11.4.2

Nhân $\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.2.1

Kết hợp $\sqrt{3 (x + 3)}$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2}{3} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Bước 11.4.2.2

Kết hợp $\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2}{3}$ và $e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Bước 11.4.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{3 (x + 3)}$ .

$\frac{2 \cdot \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Bước 11.4.4

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} - \frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

Bước 11.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

Bước 11.6

Đưa $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ ra ngoài $2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1

Đưa $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ ra ngoài $2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

Bước 11.6.2

Đưa $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ ra ngoài $- 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) + 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (- 1)}{3} + C$

Bước 11.6.3

Đưa $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ ra ngoài $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) + 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (- 1)$ .

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)} - 1)}{3} + C$