Giải tích Ví dụ

$\int e^{x} \sin (4 x) d x$

Bước 1

Sắp xếp lại $e^{x}$ và $\sin (4 x)$ .

$\int \sin (4 x) e^{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sin (4 x)$ và $d v = e^{x}$ .

$\sin (4 x) e^{x} - \int e^{x} (4 \cos (4 x)) d x$

Bước 3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$\sin (4 x) e^{x} - (4 \int e^{x} (\cos (4 x)) d x)$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\sin (4 x) e^{x} - 4 \int e^{x} (\cos (4 x)) d x$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{x}$ và $\cos (4 x)$ .

$\sin (4 x) e^{x} - 4 \int \cos (4 x) e^{x} d x$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \cos (4 x)$ và $d v = e^{x}$ .

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x} - \int e^{x} (- 4 \sin (4 x)) d x)$

Bước 6

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x} - (- 4 \int e^{x} (\sin (4 x)) d x))$

Bước 7

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x} + 4 \int e^{x} (\sin (4 x)) d x)$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x}) - 4 (4 \int e^{x} (\sin (4 x)) d x)$

Bước 7.3

Nhân $4$ với $- 4$ .

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x}) - 16 \int e^{x} (\sin (4 x)) d x$

Bước 8

Khi giải tìm $\int e^{x} \sin (4 x) d x$ , chúng ta thấy rằng $\int e^{x} \sin (4 x) d x$ = $\frac{\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x})}{17}$ .

$\frac{\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x})}{17} + C$

Bước 9

Viết lại $\frac{\sin (4 x) e^{x} - 4 \cos (4 x) e^{x}}{17} + C$ ở dạng $\frac{1}{17} (\sin (4 x) e^{x} - 4 \cos (4 x) e^{x}) + C$ .

$\frac{1}{17} (\sin (4 x) e^{x} - 4 \cos (4 x) e^{x}) + C$