Giải tích Ví dụ

$\int e^{4 x} \sin (5 x) d x$

Bước 1

Sắp xếp lại $e^{4 x}$ và $\sin (5 x)$ .

$\int \sin (5 x) e^{4 x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sin (5 x)$ và $d v = e^{4 x}$ .

$\sin (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (5 \cos (5 x)) d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4} \cdot 5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4} \cdot 5$ ra khỏi tích phân.

$\sin (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

Bước 4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $e^{4 x}$ .

$\sin (5 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

Bước 4.2

Kết hợp $\sin (5 x)$ và $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

Bước 4.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $5$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

Bước 4.4

Sắp xếp lại $e^{4 x}$ và $\cos (5 x)$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} \int \cos (5 x) e^{4 x} d x)$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \cos (5 x)$ và $d v = e^{4 x}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\cos (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (- 5 \sin (5 x)) d x))$

Bước 6

Vì $\frac{1}{4} \cdot - 5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4} \cdot - 5$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\cos (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Bước 7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $e^{4 x}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\cos (5 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Bước 7.2

Kết hợp $\cos (5 x)$ và $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Bước 7.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $- 5$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Bước 7.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5}{4} (- (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x))$

Bước 7.5

Nhân $\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4}$ với $\frac{5}{4}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} (- (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x))$

Bước 7.6

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} - \frac{5}{4} (- (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x))$

Bước 7.6.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + 1 (\frac{5}{4}) (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

Bước 7.6.3

Nhân $\frac{5}{4}$ với $1$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{5}{4} (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

Bước 7.7

Nhân $\frac{- 5}{4}$ với $\frac{5}{4}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{- 5 \cdot 5}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x$

Bước 7.8

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1

Nhân $- 5$ với $5$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{- 25}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x$

Bước 7.8.2

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{- 25}{16} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x$

Bước 8

Khi giải tìm $\int e^{4 x} \sin (5 x) d x$ , chúng ta thấy rằng $\int e^{4 x} \sin (5 x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16}}{\frac{41}{16}}$ .

$\frac{\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $\cos (5 x) e^{4 x}$ .

$\frac{\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5 \cdot (\cos (5 x) e^{4 x})}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

Bước 9.1.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{41}{16}$ .

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5 \cos (5 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{41} + C$

Bước 9.2

Viết lại $(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5 \cos (5 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{41} + C$ ở dạng $(\frac{1}{4} \sin (5 x) e^{4 x} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$ .

$(\frac{1}{4} \sin (5 x) e^{4 x} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\sin (5 x)$ .

$(\frac{\sin (5 x)}{4} e^{4 x} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

Bước 9.3.2

Kết hợp $\frac{\sin (5 x)}{4}$ và $e^{4 x}$ .

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

Bước 9.3.3

Kết hợp $\cos (5 x)$ và $\frac{5}{16}$ .

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{16} e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

Bước 9.3.4

Kết hợp $e^{4 x}$ và $\frac{\cos (5 x) \cdot 5}{16}$ .

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{16}) \frac{16}{41} + C$

Bước 9.3.5

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $\cos (5 x)$ .

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x} (5 \cos (5 x))}{16}) \frac{16}{41} + C$

Bước 9.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4}$ .

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} (5 \cos (5 x))}{16}) \frac{16}{41} + C$

Bước 9.4.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.2.1

Viết lại.

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{16}) \frac{16}{41} + C$

Bước 9.4.2.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $\cos (5 x)$ .

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} (5 \cdot \cos (5 x))}{16}) \frac{16}{41} + C$

Bước 9.4.2.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} \cdot 5 \cos (5 x)}{16}) \frac{16}{41} + C$

Bước 9.4.3

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $e^{4 x}$ .

$(\frac{1}{4} e^{4 x} \sin (5 x) - \frac{5}{16} e^{4 x} \cos (5 x)) \frac{16}{41} + C$