Giải tích Ví dụ

$\int \sqrt{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Bước 1

Hoàn thành bình phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Di chuyển $5$ .

$4 x - x^{2} + 5$

Bước 1.1.2

Sắp xếp lại $4 x$ và $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 4 x + 5$

Bước 1.2

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 5$

Bước 1.3

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.4

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Bước 1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Bước 1.4.2.1.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Bước 1.4.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$d = - 2$

Bước 1.5

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Bước 1.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $4^{2}$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4^{2}$ .

$e = 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Bước 1.5.2.1.1.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 5 - (- 1 \cdot 4)$

Bước 1.5.2.1.2

Nhân $- (- 1 \cdot 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$e = 5 - - 4$

Bước 1.5.2.1.2.2

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$e = 5 + 4$

Bước 1.5.2.2

Cộng $5$ và $4$ .

$e = 9$

Bước 1.6

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- {(x - 2)}^{2} + 9$ .

$\int \sqrt{- {(x - 2)}^{2} + 9} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = x - 2$ . Sau đó $d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = x - 2$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.1.4

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 9} d u_{1}$

Bước 3

Giả sử $u_{1} = 3 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d u_{1} = 3 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $3 \cos (t)$ dương.

$\int \sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn $\sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{- (3^{2} \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \sqrt{- (9 \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.1.3

Nhân $9$ với $- 1$ .

$\int \sqrt{- 9 \sin^{2} (t) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.2

Sắp xếp lại $- 9 \sin^{2} (t)$ và $9$ .

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.3

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.4

Đưa $9$ ra ngoài $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.5

Đưa $9$ ra ngoài $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.6

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.7

Viết lại $9 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $3$ với $3$ .

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Bước 4.2.2

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Bước 4.2.3

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Bước 4.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Bước 4.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

Bước 5

Vì $9$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

Bước 6

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $9$ .

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 11

Giả sử $u_{2} = 2 t$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 t$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 11.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 11.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 11.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Bước 12

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Bước 13

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Bước 14

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Bước 15

Rút gọn.

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 16

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 16.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 t$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Bước 16.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x - 2$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Bước 16.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{u_{1}}{3}))) + C$

Bước 16.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x - 2$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))) + C$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}) + C$

Bước 17.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

Bước 17.3

Kết hợp $\frac{9}{2}$ và $\arcsin (\frac{x - 2}{3})$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

Bước 17.4

Nhân $\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.4.1

Nhân $\frac{9}{2}$ với $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

Bước 17.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{4} + C$

Bước 18

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2))) + C$