Giải tích Ví dụ

$\int x^{9} \sin (x^{10}) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = x^{2}$ . Sau đó $d u_{1} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{8} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{10}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ ở dạng ${u_{1}}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{10}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{10}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $8$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{8}{2}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{10}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{10}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{10}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{10}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int {u_{1}}^{\frac{4}{1}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{10}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$\int {u_{1}}^{4} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{10}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{10}$ ở dạng ${u_{1}}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{1}}^{4} \sin ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{10}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{4} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 10}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $10$ .

$\int {u_{1}}^{4} \sin ({u_{1}}^{\frac{10}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$\int {u_{1}}^{4} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int {u_{1}}^{4} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int {u_{1}}^{4} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int {u_{1}}^{4} \sin ({u_{1}}^{\frac{5}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.4.2.4

Chia $5$ cho $1$ .

$\int {u_{1}}^{4} \sin ({u_{1}}^{5}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${u_{1}}^{4}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{4}}{2} \sin ({u_{1}}^{5}) d u_{1}$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{{u_{1}}^{4}}{2}$ và $\sin ({u_{1}}^{5})$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{4} \sin ({u_{1}}^{5})}{2} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{4} \sin ({u_{1}}^{5}) d u_{1}$

Bước 4

Giả sử $u_{2} = {u_{1}}^{5}$ . Sau đó $d u_{2} = 5 {u_{1}}^{4} d u_{1}$ , nên $\frac{1}{5} d u_{2} = {u_{1}}^{4} d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{2} = {u_{1}}^{5}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm ${u_{1}}^{5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

Bước 5

Kết hợp $\sin (u_{2})$ và $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sin (u_{2})}{5} d u_{2}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{5 \cdot 2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 7.2

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{1}{10} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 8

Tích phân của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{10} (- \cos (u_{2}) + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

$\frac{1}{10} (- \cos (u_{2})) + C$

Bước 9.2

Kết hợp $\frac{1}{10}$ và $\cos (u_{2})$ .

$- \frac{\cos (u_{2})}{10} + C$

Bước 10

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với ${u_{1}}^{5}$ .

$- \frac{\cos ({u_{1}}^{5})}{10} + C$

Bước 10.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$- \frac{\cos ({(x^{2})}^{5})}{10} + C$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\cos (x^{2 \cdot 5})}{10} + C$

Bước 11.1.2

Nhân $2$ với $5$ .

$- \frac{\cos (x^{10})}{10} + C$

Bước 11.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{10} \cos (x^{10}) + C$