Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt[3]{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Bước 1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Bước 1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Bước 1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Bước 1.6.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Bước 1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Bước 1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.8.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 2.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Bước 2.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

Bước 2.2.2.2

Nhân $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

Bước 2.2.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 2}{3}})$

Bước 2.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{2}{3}})$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Bước 2.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 2.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Bước 2.7.2

Trừ $3$ khỏi $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Bước 2.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Bước 2.9

Kết hợp $x^{- \frac{5}{3}}$ và $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Bước 2.10

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Bước 2.11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Nhân $3$ với $3$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{9}$

Bước 2.11.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{- \frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot x^{- \frac{5}{3}}}{9}$

Bước 2.11.3

Di chuyển $x^{- \frac{5}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- \frac{2}{9}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ đối với $x$ là $- \frac{2}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$

Bước 3.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$

Bước 3.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{3} \cdot - 1}$

Bước 3.2.2.2

Nhân $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Kết hợp $\frac{5}{3}$ và $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{5 \cdot - 1}{3}}$

Bước 3.2.2.2.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 5}{3}}$

Bước 3.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{5}{3}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{5}{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1})$

Bước 3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 3}{3}})$

Bước 3.7.2

Trừ $3$ khỏi $- 5$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 8}{3}})$

Bước 3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{8}{3}})$

Bước 3.9

Kết hợp $x^{- \frac{8}{3}}$ và $\frac{5}{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3})$

Bước 3.10

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{2}{9}) \cdot \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$

Bước 3.10.2

Nhân $\frac{2}{9}$ với $1$ .

$f''' (x) = \frac{2}{9} \cdot \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$

Bước 3.11

Nhân $\frac{2}{9}$ với $\frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$ .

$f''' (x) = \frac{2 (x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5)}{9 \cdot 3}$

Bước 3.12

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Nhân $5$ với $2$ .

$f''' (x) = \frac{10 x^{- \frac{8}{3}}}{9 \cdot 3}$

Bước 3.12.2

Nhân $9$ với $3$ .

$f''' (x) = \frac{10 x^{- \frac{8}{3}}}{27}$

Bước 3.12.3

Di chuyển $x^{- \frac{8}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{10}{27 x^{\frac{8}{3}}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $\frac{10}{27}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{10}{27 x^{\frac{8}{3}}}$ đối với $x$ là $\frac{10}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}})$

Bước 4.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1})$

Bước 4.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{8}{3} \cdot - 1})$

Bước 4.2.2.2

Nhân $\frac{8}{3} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Kết hợp $\frac{8}{3}$ và $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{8 \cdot - 1}{3}})$

Bước 4.2.2.2.2

Nhân $8$ với $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 8}{3}})$

Bước 4.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{8}{3}})$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{8}{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} - 1})$

Bước 4.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 4.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 8 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 8 - 3}{3}})$

Bước 4.7.2

Trừ $3$ khỏi $- 8$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 11}{3}})$

Bước 4.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{11}{3}})$

Bước 4.9

Kết hợp $x^{- \frac{11}{3}}$ và $\frac{8}{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3})$

Bước 4.10

Nhân $\frac{10}{27}$ với $\frac{x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{10 (x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8)}{27 \cdot 3}$

Bước 4.11

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.1

Nhân $8$ với $10$ .

$f^{4} (x) = - \frac{80 x^{- \frac{11}{3}}}{27 \cdot 3}$

Bước 4.11.2

Nhân $27$ với $3$ .

$f^{4} (x) = - \frac{80 x^{- \frac{11}{3}}}{81}$

Bước 4.11.3

Di chuyển $x^{- \frac{11}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{80}{81 x^{\frac{11}{3}}}$