Giải tích Ví dụ

$\int \ln (1 + x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (1 + x)$ và $d v = 1$ .

$\ln (1 + x) x - \int x \frac{1}{x + 1} d x$

Bước 2

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x + 1}$ .

$\ln (1 + x) x - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Bước 3

Chia $x$ cho $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Bước 3.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Bước 3.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Bước 3.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Bước 3.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Bước 3.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\ln (1 + x) x - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (1 + x) x - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (1 + x) x - (x + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (1 + x) x - (x + C - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 7

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 7.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 7.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 7.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (1 + x) x - (x + C - \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 8

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 + x) x - (x + C - (\ln (| u |) + C))$

Bước 9

Rút gọn.

$\ln (1 + x) x - x + \ln (| u |) + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$\ln (1 + x) x - x + \ln (| x + 1 |) + C$