Giải tích Ví dụ

$\int x \cos^{2} (2 x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \cos^{2} (2 x)$ .

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - \int \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\int \frac{1}{2} x d x + \int \frac{1}{8} \sin (4 x) d x)$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} \int x d x + \int \frac{1}{8} \sin (4 x) d x)$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{8} \sin (4 x) d x)$

Bước 5

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} \int \sin (4 x) d x)$

Bước 6

Giả sử $u = 4 x$ . Sau đó $d u = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = 4 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 6.1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} \int \sin (u) \frac{1}{4} d u)$

Bước 7

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $\sin (4 x)$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Bước 9

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (\frac{1}{4} (- \cos (u) + C)))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{8}$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4 \cdot 8} (- \cos (u) + C))$

Bước 10.1.2

Nhân $4$ với $8$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{32} (- \cos (u) + C))$

Bước 10.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{32} (- \cos (u) + C))$

Bước 10.2

Rút gọn.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C$

Bước 10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C$

Bước 10.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C$

Bước 10.3.3

Kết hợp $\frac{1}{32}$ và $\cos (u)$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32}) + C$

Bước 10.3.4

Để viết $- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32}) \cdot \frac{8}{8} + C$

Bước 10.3.5

Kết hợp $- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32})$ và $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} + \frac{- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32}) \cdot 8}{8} + C$

Bước 10.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32}) \cdot 8}{8} + C$

Bước 10.3.7

Nhân $8$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 8 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32})}{8} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 8 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 8 \frac{x^{2}}{4} - 8 (- \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

Bước 12.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 8$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) + 4 (- 2) \frac{x^{2}}{4} - 8 (- \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

Bước 12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) + 4 \cdot - 2 \frac{x^{2}}{4} - 8 (- \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

Bước 12.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} - 8 (- \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

Bước 12.3

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\cos (4 x)}{32}$ vào tử số.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} - 8 \frac{- \cos (4 x)}{32}}{8} + C$

Bước 12.3.2

Đưa $8$ ra ngoài $- 8$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + 8 (- 1) \frac{- \cos (4 x)}{32}}{8} + C$

Bước 12.3.3

Đưa $8$ ra ngoài $32$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + 8 \cdot - 1 \frac{- \cos (4 x)}{8 \cdot 4}}{8} + C$

Bước 12.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + 8 \cdot - 1 \frac{- \cos (4 x)}{8 \cdot 4}}{8} + C$

Bước 12.3.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} - \frac{- \cos (4 x)}{4}}{8} + C$

Bước 12.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} - - \frac{\cos (4 x)}{4}}{8} + C$

Bước 12.4.2

Nhân $- - \frac{\cos (4 x)}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + 1 \frac{\cos (4 x)}{4}}{8} + C$

Bước 12.4.2.2

Nhân $\frac{\cos (4 x)}{4}$ với $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + \frac{\cos (4 x)}{4}}{8} + C$

Bước 13

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{8} (x \sin (4 x) - 2 x^{2} + \frac{1}{4} \cos (4 x)) + C$