Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\sqrt{19}} 7 x \sqrt[3]{8 + x^{2}} d x$

Bước 1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$7 \int_{0}^{\sqrt{19}} x \sqrt[3]{8 + x^{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 8 + x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 8 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $8 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 + x^{2}]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.3

Vì $8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $8$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 2.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 8 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 8 + 0^{2}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 8 + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $8$ và $0$ .

$u_{lower} = 8$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 8 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 8 + {\sqrt{19}}^{2}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại ${\sqrt{19}}^{2}$ ở dạng $19$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{19}$ ở dạng $19^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 8 + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Bước 2.5.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Bước 2.5.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{2}{2}}$

Bước 2.5.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{2}{2}}$

Bước 2.5.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = 8 + 19^{1}$

Bước 2.5.1.5

Tính số mũ.

$u_{upper} = 8 + 19$

Bước 2.5.2

Cộng $8$ và $19$ .

$u_{upper} = 27$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 8$

$u_{upper} = 27$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$7 \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Kết hợp $\sqrt[3]{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$7 \int_{8}^{27} \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$7 (\frac{1}{2} \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} d u)$

Bước 5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $7$ .

$\frac{7}{2} \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} d u$

Bước 5.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7}{2} \int_{8}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{7}{2} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{8}^{27}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ tại $27$ và tại $8$ .

$\frac{7}{2} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $27$ ở dạng $3^{3}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Bước 7.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Bước 7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Bước 7.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Bước 7.2.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Bước 7.2.5

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $81$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Bước 7.2.6

Nhân $3$ với $81$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Bước 7.2.7

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Bước 7.2.8

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})$

Bước 7.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})$

Bước 7.2.9.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{4})$

Bước 7.2.10

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 16)$

Bước 7.2.11

Nhân $16$ với $- 1$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 16 (\frac{3}{4}))$

Bước 7.2.12

Kết hợp $- 16$ và $\frac{3}{4}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 16 \cdot 3}{4})$

Bước 7.2.13

Nhân $- 16$ với $3$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 48}{4})$

Bước 7.2.14

Triệt tiêu thừa số chung của $- 48$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.14.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 48$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4})$

Bước 7.2.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.14.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4 (1)})$

Bước 7.2.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4 \cdot 1})$

Bước 7.2.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 12}{1})$

Bước 7.2.14.2.4

Chia $- 12$ cho $1$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 12)$

Bước 7.2.15

Để viết $- 12$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 12 \cdot \frac{4}{4})$

Bước 7.2.16

Kết hợp $- 12$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 12 \cdot 4}{4})$

Bước 7.2.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{7}{2} \cdot \frac{243 - 12 \cdot 4}{4}$

Bước 7.2.18

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.18.1

Nhân $- 12$ với $4$ .

$\frac{7}{2} \cdot \frac{243 - 48}{4}$

Bước 7.2.18.2

Trừ $48$ khỏi $243$ .

$\frac{7}{2} \cdot \frac{195}{4}$

Bước 7.2.19

Nhân $\frac{7}{2}$ với $\frac{195}{4}$ .

$\frac{7 \cdot 195}{2 \cdot 4}$

Bước 7.2.20

Nhân $7$ với $195$ .

$\frac{1365}{2 \cdot 4}$

Bước 7.2.21

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{1365}{8}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1365}{8}$

Dạng thập phân:

$170.625$

Dạng hỗn số:

$170 \frac{5}{8}$

Bước 9