Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\sec^{2} (t)$ dương.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Bước 2

Rút gọn $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Bước 3

Nhân $\sec (t)$ với $\sec^{2} (t)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\sec (t)$ với $\sec^{2} (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Bước 3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

Bước 3.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{3} (t) d t$

Bước 4

Áp dụng công thức rút gọn.

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t) d t$

Bước 5

Tích phân của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ tại $\frac{π}{4}$ và tại $0$ .

$(\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2}) - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Bước 6.2

Tính $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ tại $\frac{π}{4}$ và tại $0$ .

$(\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2}) - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Bước 6.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$\frac{1 \sec (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Bước 7.2

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{4})$ là $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Bước 7.3

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Bước 7.4

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Bước 7.5

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{4})$ là $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Bước 7.6

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Bước 7.7

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |))$

Bước 7.8

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Bước 7.9

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $1$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Bước 7.10

Viết lại $\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{2}$ ở dạng một tích.

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Bước 7.11

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Bước 7.12

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Bước 7.13

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.13.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2 \sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Bước 7.13.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Bước 7.14

Nhân $0$ với $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Bước 7.15

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.15.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Bước 7.15.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.15.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Bước 7.15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Bước 7.15.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0}{1} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Bước 7.15.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} - 0 + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Bước 7.16

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} + 0 + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Bước 7.17

Cộng $\frac{1}{\sqrt{2}}$ và $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Bước 7.18

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 7.19

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Bước 7.20

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2}$

Bước 7.21

Để viết $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2}$

Bước 7.22

Để viết $\frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 7.23

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $\sqrt{2} \cdot 2$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.23.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 7.23.2

Nhân $\frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 7.23.3

Sắp xếp lại các thừa số của $\sqrt{2} \cdot 2$ .

$\frac{2}{2 \sqrt{2}} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 7.24

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 8.1.1.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.2.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 8.1.1.2.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 8.1.1.2.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 8.1.1.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 8.1.1.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 8.1.1.2.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 8.1.1.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 8.1.1.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 8.1.1.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 8.1.1.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 8.1.1.2.6.5

Tính số mũ.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 8.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 8.1.1.3.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 8.1.2

$\sqrt{2} + 1$ xấp xỉ $2.41421356$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{2 + \ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 8.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 8.3

Chia $\sqrt{2} + 1$ cho $1$ .

$\frac{2 + \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2 + \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Dạng thập phân:

$1.14779357 \dots$

Bước 10