Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$

Bước 1.1.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$ ở dạng $\frac{d}{d x} [x - 1]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}}]$

Bước 1.1.2.1.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Bước 1.1.2.1.3

Viết lại đa thức này.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}]$

Bước 1.1.2.1.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 1)}^{2}}]$

Bước 1.1.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 1.1.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.6

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$u_{lower} = \sqrt{0^{2} - 2 \cdot 0 + 1}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 - 2 \cdot 0 + 1}$

Bước 1.3.2

Nhân $- 2$ với $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 + 0 + 1}$

Bước 1.3.3

Cộng $0$ và $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 + 1}$

Bước 1.3.4

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{1}$

Bước 1.3.5

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$u_{upper} = \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 \cdot 1 + 1}$

Bước 1.5.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 + 1}$

Bước 1.5.3

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{- 1 + 1}$

Bước 1.5.4

Cộng $- 1$ và $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{0}$

Bước 1.5.5

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$u_{upper} = \sqrt{0^{2}}$

Bước 1.5.6

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$u_{upper} = 0$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{0} u d u$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0}$

Bước 3

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính $\frac{1}{2} u^{2}$ tại $0$ và tại $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Bước 3.2.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $0$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Bước 3.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 3.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Bước 3.2.5

Trừ $\frac{1}{2}$ khỏi $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$- 0.5$

Bước 5