Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} 7 x e^{5 x} d x$

Bước 1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$7 \int_{0}^{1} x e^{5 x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{5 x}$ .

$7 (x (\frac{1}{5} e^{5 x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $e^{5 x}$ .

$7 (x \frac{e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

Bước 3.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $e^{5 x}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{5 x}}{5} d x)$

Bước 4

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} \int_{0}^{1} e^{5 x} d x))$

Bước 5

Giả sử $u = 5 x$ . Sau đó $d u = 5 d x$ , nên $\frac{1}{5} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 5 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 5.1.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $5$ với $1$ .

$5$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Bước 5.3

Nhân $5$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

Bước 5.5

Nhân $5$ với $1$ .

$u_{upper} = 5$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} \frac{1}{5} d u)$

Bước 6

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{5}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} \int_{0}^{5} \frac{e^{u}}{5} d u)$

Bước 7

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{1}{5}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

Bước 8.2

Nhân $5$ với $5$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{25} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

Bước 9

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{25} e^{u}]_{0}^{5})$

Bước 10

Kết hợp $e^{u}]_{0}^{5}$ và $\frac{1}{25}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{e^{u}]_{0}^{5}}{25})$

Bước 11

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính $\frac{x e^{5 x}}{5}$ tại $1$ và tại $0$ .

$7 ((\frac{1 e^{5 \cdot 1}}{5}) - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{e^{u}]_{0}^{5}}{25})$

Bước 11.2

Tính $e^{u}$ tại $5$ và tại $0$ .

$7 ((\frac{1 e^{5 \cdot 1}}{5}) - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Bước 11.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Nhân $5$ với $1$ .

$7 (\frac{1 e^{5}}{5} - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Bước 11.3.2

Nhân $e^{5}$ với $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Bước 11.3.3

Nhân $5$ với $0$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 e^{0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Bước 11.3.4

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 \cdot 1}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Bước 11.3.5

Nhân $0$ với $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Bước 11.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.6.1

Đưa $5$ ra ngoài $0$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 (0)}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Bước 11.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.6.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Bước 11.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Bước 11.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Bước 11.3.6.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - 0 - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Bước 11.3.7

Nhân $- 1$ với $0$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} + 0 - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Bước 11.3.8

Cộng $\frac{e^{5}}{5}$ và $0$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Bước 11.3.9

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{5} - 1 \cdot 1}{25})$

Bước 11.3.10

Nhân $- 1$ với $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

Bước 11.3.11

Để viết $\frac{e^{5}}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

Bước 11.3.12

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $25$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.12.1

Nhân $\frac{e^{5}}{5}$ với $\frac{5}{5}$ .

$7 (\frac{e^{5} \cdot 5}{5 \cdot 5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

Bước 11.3.12.2

Nhân $5$ với $5$ .

$7 (\frac{e^{5} \cdot 5}{25} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

Bước 11.3.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$7 \frac{e^{5} \cdot 5 - (e^{5} - 1)}{25}$

Bước 11.3.14

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $e^{5}$ .

$7 \frac{5 \cdot e^{5} - (e^{5} - 1)}{25}$

Bước 11.3.15

Kết hợp $7$ và $\frac{5 e^{5} - (e^{5} - 1)}{25}$ .

$\frac{7 (5 e^{5} - (e^{5} - 1))}{25}$

Bước 12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 (5 e^{5} - e^{5} - - 1)}{25}$

Bước 12.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{7 (5 e^{5} - e^{5} + 1)}{25}$

Bước 12.3

Trừ $e^{5}$ khỏi $5 e^{5}$ .

$\frac{7 (4 e^{5} + 1)}{25}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{7 (4 e^{5} + 1)}{25}$

Dạng thập phân:

$166.50273819 \dots$

Bước 14