Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \ln (x^{2} + 1) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x^{2} + 1)$ và $d v = 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

Bước 4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Bước 5

Chia $x^{2}$ cho $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Bước 5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Bước 5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Bước 5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Bước 5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Bước 5.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Bước 7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Bước 9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Bước 9.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Bước 10

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x)]_{0}^{1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Bước 11

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính $\ln (x^{2} + 1) x$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Bước 11.2

Tính $x$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 ((1) + 0 - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Bước 11.3

Tính $\arctan (x)$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Bước 11.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\ln (1 + 1) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Bước 11.4.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\ln (2) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Bước 11.4.3

Nhân $\ln (2)$ với $1$ .

$\ln (2) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Bước 11.4.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\ln (2) - \ln (0 + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Bước 11.4.5

Cộng $0$ và $1$ .

$\ln (2) - \ln (1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Bước 11.4.6

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\ln (2) + 0 \ln (1) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Bước 11.4.7

Nhân $0$ với $\ln (1)$ .

$\ln (2) + 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Bước 11.4.8

Cộng $\ln (2)$ và $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Bước 11.4.9

Cộng $1$ và $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Bước 12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.1

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - \arctan (0)))$

Bước 12.1.1.2

Giá trị chính xác của $\arctan (0)$ là $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - 0))$

Bước 12.1.1.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} + 0))$

Bước 12.1.2

Cộng $\frac{π}{4}$ và $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - \frac{π}{4})$

Bước 12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (2) - 2 \cdot 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

Bước 12.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\ln (2) - 2 - 2 (- \frac{π}{4})$

Bước 12.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{4}$ vào tử số.

$\ln (2) - 2 - 2 \frac{- π}{4}$

Bước 12.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\ln (2) - 2 + 2 (- 1) \frac{- π}{4}$

Bước 12.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Bước 12.4.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Bước 12.4.5

Viết lại biểu thức.

$\ln (2) - 2 - \frac{- π}{2}$

Bước 12.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (2) - 2 - - \frac{π}{2}$

Bước 12.5.2

Nhân $- - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\ln (2) - 2 + 1 \frac{π}{2}$

Bước 12.5.2.2

Nhân $\frac{π}{2}$ với $1$ .

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

Dạng thập phân:

$0.26394350 \dots$