Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} 4 x^{3} e^{x^{4}} d x$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{0}^{1} x^{3} e^{x^{4}} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = x^{2}$ . Sau đó $d u_{1} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Bước 2.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Bước 2.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 1$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ ở dạng ${u_{1}}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u_{1}$ .

$4 \int_{0}^{1} \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{u_{1}}{2}$ và $e^{{u_{1}}^{2}}$ .

$4 \int_{0}^{1} \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\frac{4}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 5.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 6

Giả sử $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Bước 6.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Bước 6.2

Thay giới hạn dưới vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Bước 6.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 6.4

Thay giới hạn trên vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Bước 6.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 1$

Bước 6.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 6.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 \int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 7

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 9.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 9.3

Nhân $\int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$ với $1$ .

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 10

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

Bước 11

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính $e^{u_{2}}$ tại $1$ và tại $0$ .

$(e^{1}) - e^{0}$

Bước 11.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn.

$e - e^{0}$

Bước 11.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$e - 1 \cdot 1$

Bước 11.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$e - 1$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$e - 1$

Dạng thập phân:

$1.71828182 \dots$

Bước 13