Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} x (4 \sqrt[3]{x} + 5 \sqrt[4]{x}) d x$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{1} x (4 x^{\frac{1}{3}} + 5 \sqrt[4]{x}) d x$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\int_{0}^{1} x (4 x^{\frac{1}{3}} + 5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{0}^{1} x (4 x^{\frac{1}{3}}) + x (5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

Bước 3.2

Sắp xếp lại $x$ và $4$ .

$\int_{0}^{1} 4 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{3}} + x (5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

Bước 3.3

Sắp xếp lại $x$ và $5$ .

$\int_{0}^{1} 4 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{3}} + 5 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Bước 3.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{1} 4 (x^{1} x^{\frac{1}{3}}) + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Bước 3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{1} 4 x^{1 + \frac{1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Bước 3.6

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Bước 3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{3 + 1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Bước 3.8

Cộng $3$ và $1$ .

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Bước 3.9

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 (x^{1} x^{\frac{1}{4}}) d x$

Bước 3.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{1 + \frac{1}{4}} d x$

Bước 3.11

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}} d x$

Bước 3.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{4 + 1}{4}} d x$

Bước 3.13

Cộng $4$ và $1$ .

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

Bước 3.14

Sắp xếp lại $4 x^{\frac{4}{3}}$ và $5 x^{\frac{5}{4}}$ .

$\int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} + 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} d x + \int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Bước 5

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x + \int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{5}{4}}$ đối với $x$ là $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ .

$5 (\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Bước 7

Kết hợp $\frac{4}{9}$ và $x^{\frac{9}{4}}$ .

$5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Bước 8

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1}) + 4 \int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{4}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1}) + 4 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1})$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{3}{7}$ và $x^{\frac{7}{3}}$ .

$5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1}) + 4 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1})$

Bước 10.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Tính $\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}$ tại $1$ và tại $0$ .

$5 ((\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9}) - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9}) + 4 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1})$

Bước 10.2.2

Tính $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$ tại $1$ và tại $0$ .

$5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$5 (\frac{4 \cdot 1}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3.2

Nhân $4$ với $1$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3.3

Viết lại $0$ ở dạng $0^{4}$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot {(0^{4})}^{\frac{9}{4}}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{9}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3.6

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3.7

Nhân $4$ với $0$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{0}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3.8

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.8.1

Đưa $9$ ra ngoài $0$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{9 (0)}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.8.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 (\frac{4}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$5 (\frac{4}{9} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3.8.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$5 (\frac{4}{9} - 0) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3.9

Nhân $- 1$ với $0$ .

$5 (\frac{4}{9} + 0) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3.10

Cộng $\frac{4}{9}$ và $0$ .

$5 (\frac{4}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3.11

Kết hợp $5$ và $\frac{4}{9}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{9} + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3.12

Nhân $5$ với $4$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3.13

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3 \cdot 1}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3.14

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3.15

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 10.2.3.16

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})}}{7})$

Bước 10.2.3.17

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.17.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})}}{7})$

Bước 10.2.3.17.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{7}}{7})$

Bước 10.2.3.18

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0}{7})$

Bước 10.2.3.19

Nhân $3$ với $0$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{0}{7})$

Bước 10.2.3.20

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.20.1

Đưa $7$ ra ngoài $0$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{7 (0)}{7})$

Bước 10.2.3.20.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.20.2.1

Đưa $7$ ra ngoài $7$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1})$

Bước 10.2.3.20.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1})$

Bước 10.2.3.20.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{0}{1})$

Bước 10.2.3.20.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - 0)$

Bước 10.2.3.21

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} + 0)$

Bước 10.2.3.22

Cộng $\frac{3}{7}$ và $0$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7})$

Bước 10.2.3.23

Kết hợp $4$ và $\frac{3}{7}$ .

$\frac{20}{9} + \frac{4 \cdot 3}{7}$

Bước 10.2.3.24

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{20}{9} + \frac{12}{7}$

Bước 10.2.3.25

Để viết $\frac{20}{9}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$\frac{20}{9} \cdot \frac{7}{7} + \frac{12}{7}$

Bước 10.2.3.26

Để viết $\frac{12}{7}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{20}{9} \cdot \frac{7}{7} + \frac{12}{7} \cdot \frac{9}{9}$

Bước 10.2.3.27

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $63$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.27.1

Nhân $\frac{20}{9}$ với $\frac{7}{7}$ .

$\frac{20 \cdot 7}{9 \cdot 7} + \frac{12}{7} \cdot \frac{9}{9}$

Bước 10.2.3.27.2

Nhân $9$ với $7$ .

$\frac{20 \cdot 7}{63} + \frac{12}{7} \cdot \frac{9}{9}$

Bước 10.2.3.27.3

Nhân $\frac{12}{7}$ với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{20 \cdot 7}{63} + \frac{12 \cdot 9}{7 \cdot 9}$

Bước 10.2.3.27.4

Nhân $7$ với $9$ .

$\frac{20 \cdot 7}{63} + \frac{12 \cdot 9}{63}$

Bước 10.2.3.28

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{20 \cdot 7 + 12 \cdot 9}{63}$

Bước 10.2.3.29

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.29.1

Nhân $20$ với $7$ .

$\frac{140 + 12 \cdot 9}{63}$

Bước 10.2.3.29.2

Nhân $12$ với $9$ .

$\frac{140 + 108}{63}$

Bước 10.2.3.29.3

Cộng $140$ và $108$ .

$\frac{248}{63}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{248}{63}$

Dạng thập phân:

$3.\overline{936507}$

Dạng hỗn số:

$3 \frac{59}{63}$

Bước 12