Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} x (\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}) d x$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{1} x (x^{\frac{1}{3}} + \sqrt[4]{x}) d x$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\int_{0}^{1} x (x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{4}}) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{0}^{1} x \cdot x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Bước 3.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{1} x^{1} x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Bước 3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{1} x^{1 + \frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Bước 3.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{3 + 1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Bước 3.6

Cộng $3$ và $1$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Bước 3.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{1} x^{\frac{1}{4}} d x$

Bước 3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{1 + \frac{1}{4}} d x$

Bước 3.9

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}} d x$

Bước 3.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4 + 1}{4}} d x$

Bước 3.11

Cộng $4$ và $1$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{5}{4}} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} d x + \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{4}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{5}{4}}$ đối với $x$ là $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1}$ và $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$

Bước 7.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Tính $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}}) - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{3}{7} \cdot 1 + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.2

Nhân $\frac{3}{7}$ với $1$ .

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} \cdot 1 - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.4

Nhân $\frac{4}{9}$ với $1$ .

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.5

Để viết $\frac{3}{7}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.6

Để viết $\frac{4}{9}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.7

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $63$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.7.1

Nhân $\frac{3}{7}$ với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.7.2

Nhân $7$ với $9$ .

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.7.3

Nhân $\frac{4}{9}$ với $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.7.4

Nhân $9$ với $7$ .

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 \cdot 9 + 4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.9.1

Nhân $3$ với $9$ .

$\frac{27 + 4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.9.2

Nhân $4$ với $7$ .

$\frac{27 + 28}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.9.3

Cộng $27$ và $28$ .

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.10

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot {(0^{3})}^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.11

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.12

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.12.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{7} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.13

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.14

Nhân $\frac{3}{7}$ với $0$ .

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.15

Viết lại $0$ ở dạng $0^{4}$ .

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot {(0^{4})}^{\frac{9}{4}})$

Bước 7.2.2.16

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})})$

Bước 7.2.2.17

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.17.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})})$

Bước 7.2.2.17.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{9})$

Bước 7.2.2.18

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0)$

Bước 7.2.2.19

Nhân $\frac{4}{9}$ với $0$ .

$\frac{55}{63} - (0 + 0)$

Bước 7.2.2.20

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{55}{63} - 0$

Bước 7.2.2.21

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{55}{63} + 0$

Bước 7.2.2.22

Cộng $\frac{55}{63}$ và $0$ .

$\frac{55}{63}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{55}{63}$

Dạng thập phân:

$0.\overline{873015}$

Bước 9