Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{7} \sqrt{4 + 3 x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 4 + 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 4 + 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $4 + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 + 3 x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 + 3 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 1.1.2.2

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$0 + 3$

Bước 1.1.4

Cộng $0$ và $3$ .

$3$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 4 + 3 x$ .

$u_{lower} = 4 + 3 \cdot 0$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $3$ với $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $4$ và $0$ .

$u_{lower} = 4$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 4 + 3 x$ .

$u_{upper} = 4 + 3 \cdot 7$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $3$ với $7$ .

$u_{upper} = 4 + 21$

Bước 1.5.2

Cộng $4$ và $21$ .

$u_{upper} = 25$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 25$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{4}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Bước 2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int_{4}^{25} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int_{4}^{25} \sqrt{u} d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{4}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{25}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $25$ và tại $4$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.4

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $125$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.6

Nhân $2$ với $125$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.7

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.8

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 6.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 6.2.9.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

Bước 6.2.10

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8)$

Bước 6.2.11

Nhân $8$ với $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - 8 (\frac{2}{3}))$

Bước 6.2.12

Kết hợp $- 8$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

Bước 6.2.13

Nhân $- 8$ với $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} + \frac{- 16}{3})$

Bước 6.2.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{16}{3})$

Bước 6.2.15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{250 - 16}{3}$

Bước 6.2.16

Trừ $16$ khỏi $250$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{234}{3}$

Bước 6.2.17

Triệt tiêu thừa số chung của $234$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.17.1

Đưa $3$ ra ngoài $234$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3}$

Bước 6.2.17.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.17.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3 (1)}$

Bước 6.2.17.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3 \cdot 1}$

Bước 6.2.17.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{78}{1}$

Bước 6.2.17.2.4

Chia $78$ cho $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 78$

Bước 6.2.18

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $78$ .

$\frac{78}{3}$

Bước 6.2.19

Triệt tiêu thừa số chung của $78$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.19.1

Đưa $3$ ra ngoài $78$ .

$\frac{3 \cdot 26}{3}$

Bước 6.2.19.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.19.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 26}{3 (1)}$

Bước 6.2.19.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 26}{3 \cdot 1}$

Bước 6.2.19.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{26}{1}$

Bước 6.2.19.2.4

Chia $26$ cho $1$ .

$26$

Bước 7