Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{4} x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{2} + 9$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 9$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.4

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{2} + 9$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 9$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0 + 9$

Bước 1.3.2

Cộng $0$ và $9$ .

$u_{lower} = 9$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{2} + 9$ .

$u_{upper} = 4^{2} + 9$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = 16 + 9$

Bước 1.5.2

Cộng $16$ và $9$ .

$u_{upper} = 25$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 25$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{9}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{9}^{25} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{9}^{25} \sqrt{u} d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{9}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{25}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $25$ và tại $9$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.4

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $125$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.6

Nhân $2$ với $125$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.7

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.8

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 6.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 6.2.9.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

Bước 6.2.10

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

Bước 6.2.11

Nhân $27$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

Bước 6.2.12

Kết hợp $- 27$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

Bước 6.2.13

Nhân $- 27$ với $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} + \frac{- 54}{3})$

Bước 6.2.14

Triệt tiêu thừa số chung của $- 54$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.14.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 54$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

Bước 6.2.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.14.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

Bước 6.2.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

Bước 6.2.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} + \frac{- 18}{1})$

Bước 6.2.14.2.4

Chia $- 18$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - 18)$

Bước 6.2.15

Để viết $- 18$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - 18 \cdot \frac{3}{3})$

Bước 6.2.16

Kết hợp $- 18$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} + \frac{- 18 \cdot 3}{3})$

Bước 6.2.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{250 - 18 \cdot 3}{3}$

Bước 6.2.18

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.18.1

Nhân $- 18$ với $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{250 - 54}{3}$

Bước 6.2.18.2

Trừ $54$ khỏi $250$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{196}{3}$

Bước 6.2.19

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{196}{3}$ .

$\frac{196}{2 \cdot 3}$

Bước 6.2.20

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{196}{6}$

Bước 6.2.21

Triệt tiêu thừa số chung của $196$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.21.1

Đưa $2$ ra ngoài $196$ .

$\frac{2 (98)}{6}$

Bước 6.2.21.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.21.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 98}{2 \cdot 3}$

Bước 6.2.21.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 98}{2 \cdot 3}$

Bước 6.2.21.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{98}{3}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{98}{3}$

Dạng thập phân:

$32.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$32 \frac{2}{3}$

Bước 8