Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{4} \frac{1}{2 + t} d t d t$

Bước 1

Giả sử $u = 2 + t$ . Sau đó $d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 2 + t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 + t$ .

$\frac{d}{d t} [2 + t]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + t$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t]$

Bước 1.1.3

Vì $2$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $2$ đối với $t$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 1.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = 2 + t$ .

$u_{lower} = 2 + 0$

Bước 1.3

Cộng $2$ và $0$ .

$u_{lower} = 2$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = 2 + t$ .

$u_{upper} = 2 + 4$

Bước 1.5

Cộng $2$ và $4$ .

$u_{upper} = 6$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 6$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{2}^{6} \frac{1}{u} d u d t$

Bước 2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{6} d t$

Bước 3

Tính $\ln (| u |)$ tại $6$ và tại $2$ .

$(\ln (| 6 |) - \ln (| 2 |)) d t$

Bước 4

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 6 |}{| 2 |}) d t$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $6$ là $6$ .

$\ln (\frac{6}{| 2 |}) d t$

Bước 5.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\ln (\frac{6}{2}) d t$

Bước 5.3

Chia $6$ cho $2$ .

$\ln (3) d t$

Bước 6