Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{3} e^{t} - e^{- t} d t$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{3} e^{t} d t + \int_{0}^{3} - e^{- t} d t$

Bước 2

Tích phân của $e^{t}$ đối với $t$ là $e^{t}$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - e^{- t} d t$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{t}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} e^{- t} d t$

Bước 4

Giả sử $u = - t$ . Sau đó $d u = - d t$ , nên $- d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = - t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Bước 4.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = - t$ .

$u_{lower} = - 0$

Bước 4.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = - t$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

Bước 4.5

Nhân $- 1$ với $3$ .

$u_{upper} = - 3$

Bước 4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

Bước 4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$e^{t}]_{0}^{3} - \int_{0}^{- 3} - e^{u} d u$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{t}]_{0}^{3} - - \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + 1 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Bước 6.2

Nhân $\int_{0}^{- 3} e^{u} d u$ với $1$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Bước 7

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + e^{u}]_{0}^{- 3}$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $e^{t}$ tại $3$ và tại $0$ .

$(e^{3}) - e^{0} + e^{u}]_{0}^{- 3}$

Bước 8.2

Tính $e^{u}$ tại $- 3$ và tại $0$ .

$(e^{3}) - e^{0} + (e^{- 3}) - e^{0}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$e^{3} - 1 \cdot 1 + (e^{- 3}) - e^{0}$

Bước 8.3.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$e^{3} - 1 + (e^{- 3}) - e^{0}$

Bước 8.3.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$e^{3} - 1 + e^{- 3} - 1 \cdot 1$

Bước 8.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$e^{3} - 1 + e^{- 3} - 1$

Bước 8.3.5

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$e^{3} + e^{- 3} - 2$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$e^{3} + e^{- 3} - 2$

Dạng thập phân:

$18.13532399 \dots$

Bước 10