Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2} \frac{1}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 3 - 5 x$ . Sau đó $d u = - 5 d x$ , nên $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 3 - 5 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 - 5 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Bước 1.1.2.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 5$ với $1$ .

$0 - 5$

Bước 1.1.4

Trừ $5$ khỏi $0$ .

$- 5$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 3 - 5 x$ .

$u_{lower} = 3 - 5 \cdot 1$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $- 5$ với $1$ .

$u_{lower} = 3 - 5$

Bước 1.3.2

Trừ $5$ khỏi $3$ .

$u_{lower} = - 2$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 3 - 5 x$ .

$u_{upper} = 3 - 5 \cdot 2$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $- 5$ với $2$ .

$u_{upper} = 3 - 10$

Bước 1.5.2

Trừ $10$ khỏi $3$ .

$u_{upper} = - 7$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 7$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 5} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{5}) d u$

Bước 2.2

Nhân $\frac{1}{u^{2}}$ với $\frac{1}{5}$ .

$\int_{- 2}^{- 7} - \frac{1}{u^{2} \cdot 5} d u$

Bước 2.3

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $u^{2}$ .

$\int_{- 2}^{- 7} - \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} d u)$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 5.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} u^{- 2} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{5} - u^{- 1}]_{- 2}^{- 7}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $- u^{- 1}$ tại $- 7$ và tại $- 2$ .

$- \frac{1}{5} ((- {(- 7)}^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5} (- \frac{1}{- 7} + {(- 2)}^{- 1})$

Bước 7.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{5} (- - \frac{1}{7} + {(- 2)}^{- 1})$

Bước 7.2.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{5} (1 (\frac{1}{7}) + {(- 2)}^{- 1})$

Bước 7.2.4

Nhân $\frac{1}{7}$ với $1$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} + {(- 2)}^{- 1})$

Bước 7.2.5

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} + \frac{1}{- 2})$

Bước 7.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} - \frac{1}{2})$

Bước 7.2.7

Để viết $\frac{1}{7}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Bước 7.2.8

Để viết $- \frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Bước 7.2.9

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $14$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.9.1

Nhân $\frac{1}{7}$ với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{7 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Bước 7.2.9.2

Nhân $7$ với $2$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Bước 7.2.9.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{7}{2 \cdot 7})$

Bước 7.2.9.4

Nhân $2$ với $7$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{7}{14})$

Bước 7.2.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{2 - 7}{14}$

Bước 7.2.11

Trừ $7$ khỏi $2$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{- 5}{14}$

Bước 7.2.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{5} (- \frac{5}{14})$

Bước 7.2.13

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{5}) \frac{5}{14}$

Bước 7.2.14

Nhân $\frac{1}{5}$ với $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{14}$

Bước 7.2.15

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{5}{14}$ .

$\frac{5}{5 \cdot 14}$

Bước 7.2.16

Nhân $5$ với $14$ .

$\frac{5}{70}$

Bước 7.2.17

Triệt tiêu thừa số chung của $5$ và $70$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.17.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$\frac{5 (1)}{70}$

Bước 7.2.17.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.17.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $70$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 14}$

Bước 7.2.17.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 14}$

Bước 7.2.17.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{14}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{14}$

Dạng thập phân:

$0.0\overline{714285}$

Bước 9