Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{3} x \sin (π x^{2}) d x$

Bước 1

Giả sử $u = π x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 \cdot x π d x$ , nên $\frac{1}{2 π} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = π x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $π x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [π x^{2}]$

Bước 1.1.2

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $π x^{2}$ đối với $x$ là $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$π (2 x)$

Bước 1.1.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$2 π x$

Bước 1.1.5

Sắp xếp lại $2 π$ và $x$ .

$x (2 π)$

Bước 1.1.6

Sắp xếp lại $x$ và $2$ .

$2 \cdot x π$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = π x^{2}$ .

$u_{lower} = π \cdot 1^{2}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{lower} = π \cdot 1$

Bước 1.3.2

Nhân $π$ với $1$ .

$u_{lower} = π$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = π x^{2}$ .

$u_{upper} = π \cdot 3^{2}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = π \cdot 9$

Bước 1.5.2

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $π$ .

$u_{upper} = 9 π$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = 9 π$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{π}^{9 π} \sin (u) \frac{1}{2 π} d u$

Bước 2

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{2 π}$ .

$\int_{π}^{9 π} \frac{\sin (u)}{2 π} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2 π}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2 π}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2 π} \int_{π}^{9 π} \sin (u) d u$

Bước 4

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2 π} - \cos (u)]_{π}^{9 π}$

Bước 5

Tính $- \cos (u)$ tại $9 π$ và tại $π$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (9 π) + \cos (π))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + \cos (π))$

Bước 6.1.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{1}{2 π} (- - \cos (0) + \cos (π))$

Bước 6.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- (- 1 \cdot 1) + \cos (π))$

Bước 6.1.4

Nhân $- (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- - 1 + \cos (π))$

Bước 6.1.4.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 + \cos (π))$

Bước 6.1.5

$\frac{1}{2 π} (1 - \cos (0))$

Bước 6.1.6

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 - 1 \cdot 1)$

Bước 6.1.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 - 1)$

Bước 6.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2 π} \cdot 0$

Bước 6.3

Nhân $\frac{1}{2 π}$ với $0$ .

$0$