Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{4} \frac{u - 2}{\sqrt{u}} d u$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{u - 2}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (u - 2) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (u - 2) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (u - 2) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{4} (u - 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 4

Khai triển $(u - 2) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{1}^{4} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 4.2

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{1}^{4} u^{1 - \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 4.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 4.6

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{4} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 7

Vì $- 2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - 2 \int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - 2 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $4$ và tại $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

Bước 9.2

Tính $2 u^{\frac{1}{2}}$ tại $4$ và tại $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 9.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 9.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 9.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 9.3.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 9.3.5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 9.3.6

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 9.3.7

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 9.3.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 9.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{16 - 2}{3} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 9.3.10

Trừ $2$ khỏi $16$ .

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 9.3.11

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 9.3.12

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 9.3.13

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.13.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 9.3.13.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 9.3.14

Tính số mũ.

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 9.3.15

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{14}{3} - 2 (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 9.3.16

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{14}{3} - 2 (4 - 2 \cdot 1)$

Bước 9.3.17

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{14}{3} - 2 (4 - 2)$

Bước 9.3.18

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$\frac{14}{3} - 2 \cdot 2$

Bước 9.3.19

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\frac{14}{3} - 4$

Bước 9.3.20

Để viết $- 4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 9.3.21

Kết hợp $- 4$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Bước 9.3.22

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{14 - 4 \cdot 3}{3}$

Bước 9.3.23

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.23.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$\frac{14 - 12}{3}$

Bước 9.3.23.2

Trừ $12$ khỏi $14$ .

$\frac{2}{3}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2}{3}$

Dạng thập phân:

$0.\overline{6}$

Bước 11