Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{4} \sqrt{x} \ln (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = \sqrt{x}$ .

$\ln (x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\ln (x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2

Kết hợp $\ln (x)$ và $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

Bước 3

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{2}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $x^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} d x)$

Bước 4.2

Di chuyển $x^{1}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} d x)$

Bước 4.3

Nhân $x^{\frac{3}{2}}$ với $x^{- 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2} - 1} d x)$

Bước 4.3.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} d x)$

Bước 4.3.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} d x)$

Bước 4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} d x)$

Bước 4.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3 - 2}{2}} d x)$

Bước 4.3.5.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x)$

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - \frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - \frac{2}{3} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}$ tại $4$ và tại $1$ .

$(\frac{\ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Bước 6.2

Tính $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ tại $4$ và tại $1$ .

$(\frac{\ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\ln (4) (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (4) (2 \cdot 2^{3})}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{\ln (4) (2 \cdot 8)}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.5

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{\ln (4) \cdot 16}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.6

Di chuyển $16$ sang phía bên trái của $\ln (4)$ .

$\frac{16 \cdot \ln (4)}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.7

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.8

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\ln (1)$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \cdot \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.10

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.11

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.12

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.12.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.13

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.14

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $8$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.15

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.16

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Bước 6.3.17

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Bước 6.3.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{16 - 2}{3}$

Bước 6.3.19

Trừ $2$ khỏi $16$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{14}{3}$

Bước 6.3.20

Nhân $\frac{14}{3}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{14 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Bước 6.3.21

Nhân $14$ với $2$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{28}{3 \cdot 3}$

Bước 6.3.22

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{28}{9}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{16 \ln (4) - 2 \ln (1)}{3} + \frac{- 28}{9}$

Bước 7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $\ln (4)$ ở dạng $\ln (2^{2})$ .

$\frac{16 \ln (2^{2}) - 2 \ln (1)}{3} + \frac{- 28}{9}$

Bước 7.2.2

Khai triển $\ln (2^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{16 (2 \ln (2)) - 2 \ln (1)}{3} + \frac{- 28}{9}$

Bước 7.2.3

Nhân $2$ với $16$ .

$\frac{32 \ln (2) - 2 \ln (1)}{3} + \frac{- 28}{9}$

Bước 7.2.4

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$\frac{32 \ln (2) - 2 \cdot 0}{3} + \frac{- 28}{9}$

Bước 7.2.5

Nhân $- 2$ với $0$ .

$\frac{32 \ln (2) + 0}{3} + \frac{- 28}{9}$

Bước 7.3

Cộng $32 \ln (2)$ và $0$ .

$\frac{32 \ln (2)}{3} + \frac{- 28}{9}$

Bước 7.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{32 \ln (2)}{3} - \frac{28}{9}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{32 \ln (2)}{3} - \frac{28}{9}$

Dạng thập phân:

$4.28245881 \dots$