Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{4} 5 - 2 x + 3 x^{2} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{4} 5 d x + \int_{1}^{4} - 2 x d x + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Bước 2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$5 x]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - 2 x d x + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Bước 3

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$5 x]_{1}^{4} - 2 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Bước 6

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} x^{2} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4})$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Bước 8.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Tính $5 x$ tại $4$ và tại $1$ .

$(5 \cdot 4) - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Bước 8.2.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $4$ và tại $1$ .

$5 \cdot 4 - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Bước 8.2.3

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $4$ và tại $1$ .

$5 \cdot 4 - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.1

Nhân $5$ với $4$ .

$20 - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.2

Nhân $- 5$ với $1$ .

$20 - 5 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.3

Trừ $5$ khỏi $20$ .

$15 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.4

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$15 - 2 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.5

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$15 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$15 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$15 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$15 - 2 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.5.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$15 - 2 (8 - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$15 - 2 (8 - \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.7

Để viết $8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$15 - 2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.8

Kết hợp $8$ và $\frac{2}{2}$ .

$15 - 2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$15 - 2 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.10.1

Nhân $8$ với $2$ .

$15 - 2 \frac{16 - 1}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.10.2

Trừ $1$ khỏi $16$ .

$15 - 2 (\frac{15}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.11

Kết hợp $- 2$ và $\frac{15}{2}$ .

$15 + \frac{- 2 \cdot 15}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.12

Nhân $- 2$ với $15$ .

$15 + \frac{- 30}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.13

Triệt tiêu thừa số chung của $- 30$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 30$ .

$15 + \frac{2 \cdot - 15}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.13.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$15 + \frac{2 \cdot - 15}{2 (1)} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$15 + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$15 + \frac{- 15}{1} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.13.2.4

Chia $- 15$ cho $1$ .

$15 - 15 + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.14

Trừ $15$ khỏi $15$ .

$0 + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.15

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$0 + 3 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.16

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$0 + 3 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3})$

Bước 8.2.4.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0 + 3 \frac{64 - 1}{3}$

Bước 8.2.4.18

Trừ $1$ khỏi $64$ .

$0 + 3 (\frac{63}{3})$

Bước 8.2.4.19

Triệt tiêu thừa số chung của $63$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.19.1

Đưa $3$ ra ngoài $63$ .

$0 + 3 \frac{3 \cdot 21}{3}$

Bước 8.2.4.19.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.19.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$0 + 3 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)}$

Bước 8.2.4.19.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + 3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1}$

Bước 8.2.4.19.2.3

Viết lại biểu thức.

$0 + 3 (\frac{21}{1})$

Bước 8.2.4.19.2.4

Chia $21$ cho $1$ .

$0 + 3 \cdot 21$

Bước 8.2.4.20

Nhân $3$ với $21$ .

$0 + 63$

Bước 8.2.4.21

Cộng $0$ và $63$ .

$63$

Bước 9