Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{4} x^{2} + \sqrt{x} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Bước 3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}$ và $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Bước 5.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tính $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ tại $4$ và tại $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $64$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.3

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 8 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.7

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $8$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.8

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{64}{3} + \frac{16}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{64 + 16}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.10

Cộng $64$ và $16$ .

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.11

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.12

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.13

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1)$

Bước 5.2.2.14

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3})$

Bước 5.2.2.15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{80}{3} - \frac{1 + 2}{3}$

Bước 5.2.2.16

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{80}{3} - \frac{3}{3}$

Bước 5.2.2.17

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.17.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{80}{3} - \frac{3}{3}$

Bước 5.2.2.17.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{80}{3} - 1 \cdot 1$

Bước 5.2.2.18

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{80}{3} - 1$

Bước 5.2.2.19

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{80}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 5.2.2.20

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{80}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Bước 5.2.2.21

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{80 - 1 \cdot 3}{3}$

Bước 5.2.2.22

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.22.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{80 - 3}{3}$

Bước 5.2.2.22.2

Trừ $3$ khỏi $80$ .

$\frac{77}{3}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{77}{3}$

Dạng thập phân:

$25.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$25 \frac{2}{3}$

Bước 7