Giải tích Ví dụ

$\int_{2}^{4} 6 x \ln (x) d x$

Bước 1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int_{2}^{4} x \ln (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = x$ .

$6 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$6 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Bước 3.2

Kết hợp $\ln (x)$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Bước 3.4

Nhân $\frac{x^{2}}{2}$ với $\frac{1}{x}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Bước 3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Bước 3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Bước 3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x}{2} d x)$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{2}^{4} x d x))$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4})$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

Bước 6.1.2

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}$ và $\frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

Bước 6.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Tính $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ tại $4$ và tại $2$ .

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

Bước 6.2.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $4$ và tại $2$ .

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$6 (\frac{\ln (4) \cdot 16}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.2

Di chuyển $16$ sang phía bên trái của $\ln (4)$ .

$6 (\frac{16 \cdot \ln (4)}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $16 \ln (4)$ .

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 (1)} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$6 (\frac{8 \ln (4)}{1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.3.2.4

Chia $8 \ln (4)$ cho $1$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 4}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.5

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\ln (2)$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{4 \cdot \ln (2)}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 \ln (2)$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 (1)} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 \cdot 1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 \ln (2)}{1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.6.2.4

Chia $2 \ln (2)$ cho $1$ .

$6 (8 \ln (4) - (2 \ln (2)) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.8

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.9

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.9.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.10

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{4}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.11

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2}}{2})$

Bước 6.2.3.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.11.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}{2})$

Bước 6.2.3.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}{2})$

Bước 6.2.3.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2}{1}}{2})$

Bước 6.2.3.11.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 1 \cdot 2}{2})$

Bước 6.2.3.12

Nhân $- 1$ với $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 2}{2})$

Bước 6.2.3.13

Trừ $2$ khỏi $8$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{6}{2})$

Bước 6.2.3.14

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.14.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2})$

Bước 6.2.3.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.14.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 (1)})$

Bước 6.2.3.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1})$

Bước 6.2.3.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{3}{1})$

Bước 6.2.3.14.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 1 \cdot 3)$

Bước 6.2.3.15

Nhân $- 1$ với $3$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 3)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 (8 \ln (4)) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $\ln (4)$ ở dạng $\ln (2^{2})$ .

$6 (8 \ln (2^{2})) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Bước 7.2.2

Khai triển $\ln (2^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$6 (8 (2 \ln (2))) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Bước 7.2.3

Nhân $- 2$ với $6$ .

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) + 6 \cdot - 3$

Bước 7.2.4

Nhân $6$ với $- 3$ .

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) - 18$

Bước 7.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $2$ với $8$ .

$6 (16 \ln (2)) - 12 \ln (2) - 18$

Bước 7.3.2

Nhân $16$ với $6$ .

$96 \ln (2) - 12 \ln (2) - 18$

Bước 7.4

Trừ $12 \ln (2)$ khỏi $96 \ln (2)$ .

$84 \ln (2) - 18$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$84 \ln (2) - 18$

Dạng thập phân:

$40.22436316 \dots$