Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{e} \ln^{2} (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln^{2} (x)$ và $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Bước 2.2.2

Chia $\ln (x^{2})$ cho $1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \ln (x^{2}) d x$

Bước 3

Viết lại $\ln (x^{2})$ ở dạng $2 \ln (x)$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 2 \ln (x) d x$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - (2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x)$

Bước 5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x$

Bước 6

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Bước 7.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x)$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $\ln^{2} (x) x$ tại $e$ và tại $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Bước 9.2

Tính $\ln (x) x$ tại $e$ và tại $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e}))$

Bước 9.3

Tính $x$ tại $e$ và tại $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Bước 9.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Bước 9.4.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$1^{2} e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Bước 10.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Bước 10.1.3

Nhân $e$ với $1$ .

$e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Bước 10.1.4

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$e - 0^{2} - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Bước 10.1.5

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$e - 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Bước 10.1.6

Nhân $- 1$ với $0$ .

$e + 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Bước 10.1.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.7.1

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$e + 0 - 2 (1 e - \ln (1) - (e - 1))$

Bước 10.1.7.2

Nhân $e$ với $1$ .

$e + 0 - 2 (e - \ln (1) - (e - 1))$

Bước 10.1.7.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$e + 0 - 2 (e - 0 - (e - 1))$

Bước 10.1.7.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$e + 0 - 2 (e + 0 - (e - 1))$

Bước 10.1.7.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e + 0 - 2 (e + 0 - e - - 1)$

Bước 10.1.7.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e + 0 - 2 (e + 0 - e + 1)$

Bước 10.1.8

Cộng $e$ và $0$ .

$e + 0 - 2 (e - e + 1)$

Bước 10.1.9

Trừ $e$ khỏi $e$ .

$e + 0 - 2 (0 + 1)$

Bước 10.1.10

Cộng $0$ và $1$ .

$e + 0 - 2 \cdot 1$

Bước 10.1.11

Nhân $- 2$ với $1$ .

$e + 0 - 2$

Bước 10.2

Cộng $e$ và $0$ .

$e - 2$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$e - 2$

Dạng thập phân:

$0.71828182 \dots$