Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 1.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = x^{- 2}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{x})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\ln (x)$ và $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Bước 3.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Bước 3.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Bước 3.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Bước 3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Bước 3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 5.1.2

Nhân $\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$ với $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 5.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 5.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 5.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{- 2} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + - x^{- 1}]_{1}^{e}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e}$ và $- x^{- 1}]_{1}^{e}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}]_{1}^{e}$

Bước 7.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Tính $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}$ tại $e$ và tại $1$ .

$(- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1}) - (- \frac{\ln (1)}{1} - 1^{- 1})$

Bước 7.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Chia $\ln (1)$ cho $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1^{- 1})$

Bước 7.2.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1 \cdot 1)$

Bước 7.2.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1)$

Bước 7.2.2.4

Để viết $- (- \ln (1) - 1)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} - (- \ln (1) - 1) \cdot \frac{e}{e}$

Bước 7.2.2.5

Kết hợp $- (- \ln (1) - 1)$ và $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} + \frac{- (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Bước 7.2.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- e^{- 1} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Bước 7.2.2.7

Để viết $- e^{- 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} \cdot \frac{e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Bước 7.2.2.8

Kết hợp $- e^{- 1}$ và $\frac{e}{e}$ .

$\frac{- e^{- 1} e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Bước 7.2.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- e^{- 1} e - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Bước 7.2.2.10

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- (e^{1} e^{- 1}) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Bước 7.2.2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- e^{1 - 1} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Bước 7.2.2.12

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{- e^{0} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Bước 7.2.2.13

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Bước 7.2.2.14

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Bước 7.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \ln (e)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\ln (e)) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Bước 7.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (\ln (e))$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e)) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Bước 7.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (- \ln (1) - 1) e$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e)) - ((- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Bước 7.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1 + \ln (e)) - ((- \ln (1) - 1) e)$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e) + (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Bước 7.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1 + \ln (e) + (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Bước 7.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) + (- 0 - 1) e}{e}$

Bước 7.4.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) + (0 - 1) e}{e}$

Bước 7.4.3

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) - 1 e}{e}$

Bước 7.4.4

Viết lại $- 1 e$ ở dạng $- e$ .

$- \frac{1 + \ln (e) - e}{e}$

Bước 7.4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.5.1

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$- \frac{1 + 1 - e}{e}$

Bước 7.4.5.2

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{2 - e}{e}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{2 - e}{e}$

Dạng thập phân:

$0.26424111 \dots$