Giải tích Ví dụ

$\int_{- 3}^{0} - 12 x - x^{2} + x^{3} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 3}^{0} - 12 x d x + \int_{- 3}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Bước 2

Vì $- 12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 12$ ra khỏi tích phân.

$- 12 \int_{- 3}^{0} x d x + \int_{- 3}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{0}) + \int_{- 3}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$- 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0}) + \int_{- 3}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0}) - \int_{- 3}^{0} x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{0}) + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$- 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0}$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $0$ và tại $- 3$ .

$- 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0}$

Bước 9.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $0$ và tại $- 3$ .

$- 12 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0}$

Bước 9.3

Tính $\frac{1}{4} x^{4}$ tại $0$ và tại $- 3$ .

$- 12 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 12 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$- 12 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- 12 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 12 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 12 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.2.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- 12 (0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.3

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$- 12 (0 - \frac{9}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.4

Trừ $\frac{9}{2}$ khỏi $0$ .

$- 12 (- \frac{9}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.5

Nhân $- 1$ với $- 12$ .

$12 (\frac{9}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.6

Kết hợp $12$ và $\frac{9}{2}$ .

$\frac{12 \cdot 9}{2} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.7

Nhân $12$ với $9$ .

$\frac{108}{2} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.8

Triệt tiêu thừa số chung của $108$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $108$ .

$\frac{2 \cdot 54}{2} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 54}{2 (1)} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 1} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{54}{1} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.8.2.4

Chia $54$ cho $1$ .

$54 - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.9

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$54 - (\frac{0}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.10

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.10.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$54 - (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.10.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$54 - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$54 - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$54 - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.10.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$54 - (0 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.11

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$54 - (0 - \frac{- 27}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.12

Triệt tiêu thừa số chung của $- 27$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.12.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 27$ .

$54 - (0 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.12.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$54 - (0 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$54 - (0 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$54 - (0 - \frac{- 9}{1}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.12.2.4

Chia $- 9$ cho $1$ .

$54 - (0 - - 9) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.13

Nhân $- 1$ với $- 9$ .

$54 - (0 + 9) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.14

Cộng $0$ và $9$ .

$54 - 1 \cdot 9 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.15

Nhân $- 1$ với $9$ .

$54 - 9 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.16

Trừ $9$ khỏi $54$ .

$45 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.17

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$45 + \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.18

Nhân $\frac{1}{4}$ với $0$ .

$45 + 0 - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Bước 9.4.19

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $4$ .

$45 + 0 - \frac{1}{4} \cdot 81$

Bước 9.4.20

Nhân $81$ với $- 1$ .

$45 + 0 - 81 (\frac{1}{4})$

Bước 9.4.21

Kết hợp $- 81$ và $\frac{1}{4}$ .

$45 + 0 + \frac{- 81}{4}$

Bước 9.4.22

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$45 + 0 - \frac{81}{4}$

Bước 9.4.23

Trừ $\frac{81}{4}$ khỏi $0$ .

$45 - \frac{81}{4}$

Bước 9.4.24

Để viết $45$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$45 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4}$

Bước 9.4.25

Kết hợp $45$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{45 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4}$

Bước 9.4.26

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{45 \cdot 4 - 81}{4}$

Bước 9.4.27

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.27.1

Nhân $45$ với $4$ .

$\frac{180 - 81}{4}$

Bước 9.4.27.2

Trừ $81$ khỏi $180$ .

$\frac{99}{4}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{99}{4}$

Dạng thập phân:

$24.75$

Dạng hỗn số:

$24 \frac{3}{4}$

Bước 11