Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{10} | x - 5 | d x$

Bước 1

Tách tích phân tùy thuộc vào nơi $x - 5$ dương và âm.

$\int_{0}^{5} - x + 5 d x + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{5} - x d x + \int_{0}^{5} 5 d x + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{0}^{5} x d x + \int_{0}^{5} 5 d x + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5 d x + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5 d x + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5 x]_{0}^{5} + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5 x]_{0}^{5} + \int_{5}^{10} x d x + \int_{5}^{10} - 5 d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5 x]_{0}^{5} + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{10} + \int_{5}^{10} - 5 d x$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5 x]_{0}^{5} + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{10} + - 5 x]_{5}^{10}$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{10}$ và $- 5 x]_{5}^{10}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5 x]_{0}^{5} + \frac{1}{2} x^{2} - 5 x]_{5}^{10}$

Bước 10.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $5$ và tại $0$ .

$- ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 5 x]_{0}^{5} + \frac{1}{2} x^{2} - 5 x]_{5}^{10}$

Bước 10.2.2

Tính $5 x$ tại $5$ và tại $0$ .

$- (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + \frac{1}{2} x^{2} - 5 x]_{5}^{10}$

Bước 10.2.3

Tính $\frac{1}{2} x^{2} - 5 x$ tại $10$ và tại $5$ .

$- (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$- (\frac{25}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- (\frac{25}{2} - \frac{0}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$- (\frac{25}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- (\frac{25}{2} - \frac{0}{1}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.3.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- (\frac{25}{2} - 0) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- (\frac{25}{2} + 0) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.5

Cộng $\frac{25}{2}$ và $0$ .

$- \frac{25}{2} + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.6

Nhân $5$ với $5$ .

$- \frac{25}{2} + 25 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.7

Nhân $- 5$ với $0$ .

$- \frac{25}{2} + 25 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.8

Cộng $25$ và $0$ .

$- \frac{25}{2} + 25 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.9

Để viết $25$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{25}{2} + 25 \cdot \frac{2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.10

Kết hợp $25$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 25 + 25 \cdot 2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.12.1

Nhân $25$ với $2$ .

$\frac{- 25 + 50}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.12.2

Cộng $- 25$ và $50$ .

$\frac{25}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.13

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{25}{2} + \frac{1}{2} \cdot 100 - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.14

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $100$ .

$\frac{25}{2} + \frac{100}{2} - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.15

Triệt tiêu thừa số chung của $100$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.15.1

Đưa $2$ ra ngoài $100$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot 50}{2} - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.15.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.15.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.15.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{25}{2} + \frac{50}{1} - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.15.2.4

Chia $50$ cho $1$ .

$\frac{25}{2} + 50 - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.16

Nhân $- 5$ với $10$ .

$\frac{25}{2} + 50 - 50 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.17

Trừ $50$ khỏi $50$ .

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.18

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 25 - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.19

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $25$ .

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{25}{2} - 5 \cdot 5)$

Bước 10.2.4.20

Nhân $- 5$ với $5$ .

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{25}{2} - 25)$

Bước 10.2.4.21

Để viết $- 25$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{25}{2} - 25 \cdot \frac{2}{2})$

Bước 10.2.4.22

Kết hợp $- 25$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{25}{2} + \frac{- 25 \cdot 2}{2})$

Bước 10.2.4.23

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{25}{2} + 0 - \frac{25 - 25 \cdot 2}{2}$

Bước 10.2.4.24

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.24.1

Nhân $- 25$ với $2$ .

$\frac{25}{2} + 0 - \frac{25 - 50}{2}$

Bước 10.2.4.24.2

Trừ $50$ khỏi $25$ .

$\frac{25}{2} + 0 - \frac{- 25}{2}$

Bước 10.2.4.25

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{25}{2} + 0 - - \frac{25}{2}$

Bước 10.2.4.26

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{25}{2} + 0 + 1 (\frac{25}{2})$

Bước 10.2.4.27

Nhân $\frac{25}{2}$ với $1$ .

$\frac{25}{2} + 0 + \frac{25}{2}$

Bước 10.2.4.28

Cộng $0$ và $\frac{25}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{25}{2}$

Bước 10.2.4.29

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{25 + 25}{2}$

Bước 10.2.4.30

Cộng $25$ và $25$ .

$\frac{50}{2}$

Bước 10.2.4.31

Triệt tiêu thừa số chung của $50$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.31.1

Đưa $2$ ra ngoài $50$ .

$\frac{2 \cdot 25}{2}$

Bước 10.2.4.31.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.31.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 25}{2 (1)}$

Bước 10.2.4.31.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.4.31.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{25}{1}$

Bước 10.2.4.31.2.4

Chia $25$ cho $1$ .

$25$

Bước 11