Giải tích Ví dụ

Tìm Chiều Dài Cung f(x)=x^2+2x , [0,7]
,
Bước 1
Kiểm tra xem có liên tục không.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1
Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.
Ký hiệu khoảng:
Ký hiệu xây dựng tập hợp:
Bước 1.2
liên tục trên .
Hàm số liên tục.
Hàm số liên tục.
Bước 2
Kiểm tra xem có khả vi không.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1.1
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1.1.1
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1.1.1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 2.1.1.1.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.1.1.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1.1.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.1.1.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.1.1.2.3
Nhân với .
Bước 2.1.2
Đạo hàm bậc nhất của đối với .
Bước 2.2
Tìm nếu đạo hàm liên tục trên .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.1
Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.
Ký hiệu khoảng:
Ký hiệu xây dựng tập hợp:
Bước 2.2.2
liên tục trên .
Hàm số liên tục.
Hàm số liên tục.
Bước 2.3
Hàm số khả vi trên vì đạo hàm liên tục trên .
Hàm số này khả vi.
Hàm số này khả vi.
Bước 3
Để đảm bảo độ dài cung, cả hàm số và đạo hàm của nó phải liên tục trong khoảng đóng .
Hàm số và đạo hàm của nó liên tục trên khoảng đóng .
Bước 4
Tìm đạo hàm của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 4.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.2.3
Nhân với .
Bước 5
Để tìm độ dài cung của một hàm số, hãy sử dụng công thức .
Bước 6
Tính tích phân.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1
Hoàn thành bình phương.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1.1
Sử dụng dạng , để tìm các giá trị của , , và .
Bước 6.1.2
Xét dạng đỉnh của một parabol.
Bước 6.1.3
Tìm bằng cách sử dụng công thức .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1.3.1
Thay các giá trị của vào công thức .
Bước 6.1.3.2
Rút gọn vế phải.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1.3.2.1
Triệt tiêu thừa số chung của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1.3.2.1.1
Đưa ra ngoài .
Bước 6.1.3.2.1.2
Triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1.3.2.1.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 6.1.3.2.1.2.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 6.1.3.2.1.2.3
Viết lại biểu thức.
Bước 6.1.3.2.2
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1.3.2.2.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 6.1.3.2.2.2
Viết lại biểu thức.
Bước 6.1.4
Tìm bằng cách sử dụng công thức .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1.4.1
Thay các giá trị của , vào công thức .
Bước 6.1.4.2
Rút gọn vế phải.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1.4.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1.4.2.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 6.1.4.2.1.2
Nhân với .
Bước 6.1.4.2.1.3
Chia cho .
Bước 6.1.4.2.1.4
Nhân với .
Bước 6.1.4.2.2
Trừ khỏi .
Bước 6.1.5
Thay các giá trị của , vào dạng đỉnh .
Bước 6.2
Giả sử . Sau đó . Viết lại bằng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.2.1
Hãy đặt . Tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.2.1.1
Tính đạo hàm .
Bước 6.2.1.2
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 6.2.1.3
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 6.2.1.4
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 6.2.1.5
Cộng .
Bước 6.2.2
Thay giới hạn dưới vào cho trong .
Bước 6.2.3
Cộng .
Bước 6.2.4
Thay giới hạn trên vào cho trong .
Bước 6.2.5
Cộng .
Bước 6.2.6
Các giá trị tìm được cho sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.
Bước 6.2.7
Viết lại bài tập bằng cách dùng , , và các giới hạn mới của phép tích phân.
Bước 6.3
Giả sử , trong đó . Sau đó . Lưu ý rằng vì , nên dương.
Bước 6.4
Rút gọn các số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.4.1
Rút gọn .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.4.1.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.4.1.1.1
Kết hợp .
Bước 6.4.1.1.2
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 6.4.1.1.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 6.4.1.1.4
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.4.1.1.4.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 6.4.1.1.4.2
Viết lại biểu thức.
Bước 6.4.1.2
Áp dụng đẳng thức pytago.
Bước 6.4.1.3
Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.
Bước 6.4.2
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.4.2.1
Kết hợp .
Bước 6.4.2.2
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.4.2.2.1
Nhân với .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.4.2.2.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 6.4.2.2.1.2
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 6.4.2.2.2
Cộng .
Bước 6.5
không đổi đối với , hãy di chuyển ra khỏi tích phân.
Bước 6.6
Áp dụng công thức rút gọn.
Bước 6.7
Tích phân của đối với .
Bước 6.8
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.8.1
Kết hợp .
Bước 6.8.2
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 6.8.3
Kết hợp .
Bước 6.8.4
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 6.8.5
Di chuyển sang phía bên trái của .
Bước 6.8.6
Nhân với .
Bước 6.8.7
Nhân với .
Bước 6.9
Thay và rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.9.1
Tính tại và tại .
Bước 6.9.2
Tính tại và tại .
Bước 6.9.3
Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.
Bước 6.10
Sử dụng tính chất thương của logarit, .
Bước 6.11
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.11.1
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.11.1.1
Tính .
Bước 6.11.1.2
Tính .
Bước 6.11.2
Nhân với .
Bước 6.11.3
Chia cho .
Bước 6.11.4
Nhân với .
Bước 6.11.5
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.11.5.1
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.11.5.1.1
Tính .
Bước 6.11.5.1.2
Tính .
Bước 6.11.5.2
Nhân với .
Bước 6.11.5.3
Chia cho .
Bước 6.11.6
Trừ khỏi .
Bước 6.11.7
Nhân với .
Bước 6.11.8
xấp xỉ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Bước 6.11.9
xấp xỉ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Bước 7
Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.
Dạng chính xác:
Dạng thập phân:
Bước 8