Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

Bước 1

Xét định nghĩa giới hạn của đạo hàm.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = \sqrt{(x + h) + 1}$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x + h) = \sqrt{x + h + 1}$

Bước 2.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\sqrt{x + h + 1}$ .

$\sqrt{x + h + 1}$

Bước 2.2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = \sqrt{x + h + 1}$

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

$f (x + h) = \sqrt{x + h + 1}$

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 1} - (\sqrt{x + 1})}{h}$

Bước 4

Nhân $- 1$ với $\sqrt{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}}{h}$

Bước 5

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.1.2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} x + h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.1.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.1.4

Tính giới hạn của $x$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.1.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.1.6

Tính giới hạn của $\sqrt{x + 1}$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.2

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$\frac{\sqrt{x + 0 + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\sqrt{x + 0 + 1} - \sqrt{x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.3.1

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.3.2

Trừ $\sqrt{x + 1}$ khỏi $\sqrt{x + 1}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.3

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 5.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 5.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}$ đối với $h$ là $\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3

Tính $\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x + h + 1}$ ở dạng ${(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ là $f' (g (h)) g' (h)$ trong đó $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ và $g (h) = x + h + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + h + 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [x + h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [x + h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + h + 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [x + h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + h + 1$ đối với $h$ là $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3.4

Vì $x$ là hằng số đối với $h$ , đạo hàm của $x$ đối với $h$ là $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1 + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3.6

Vì $1$ là hằng số đối với $h$ , đạo hàm của $1$ đối với $h$ là $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3.10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3.12

Cộng $0$ và $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3.13

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3.14

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3.15

Nhân $\frac{{(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ với $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3.16

Di chuyển ${(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.4

Vì $- \sqrt{x + 1}$ là hằng số đối với $h$ , đạo hàm của $- \sqrt{x + 1}$ đối với $h$ là $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.5

Cộng $\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Bước 5.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Bước 5.5

Viết lại ${(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{x + h + 1}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + h + 1}} \cdot 1$

Bước 5.6

Nhân $\frac{1}{2 \sqrt{x + h + 1}}$ với $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + h + 1}}$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$\frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + h + 1}}$

Bước 6.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1}}$

Bước 6.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1}}$

Bước 6.4

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} x + h + 1}}$

Bước 6.5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}}$

Bước 6.6

Tính giới hạn của $x$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}}$

Bước 6.7

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + 1}}$

Bước 7

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + 0 + 1}}$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 8.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ với $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}})$

Bước 8.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ với $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

Bước 8.3.2

Nâng $\sqrt{x + 1}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}}$

Bước 8.3.3

Nâng $\sqrt{x + 1}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}}$

Bước 8.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}$

Bước 8.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}$

Bước 8.3.6

Viết lại ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ ở dạng $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x + 1}$ ở dạng ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 8.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 8.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{1}}$

Bước 8.3.6.5

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$

Bước 8.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x + 1}}{2 (x + 1)}$

Bước 9