Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 x {(x - 2)}^{3}$

Bước 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x {(x - 2)}^{3}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 2)}^{3})$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 1.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 2$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 1.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 1.1.1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 2$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 1.1.1.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 1.1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 1.1.1.4.3

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 1.1.1.4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 1.1.1.4.4.2

Nhân $3$ với $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 1.1.1.4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

Bước 1.1.1.4.6

Nhân ${(x - 2)}^{3}$ với $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

Bước 1.1.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Bước 1.1.1.5.2

Nhân $3$ với $3$ .

$f' (x) = 9 (x ({(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Bước 1.1.1.5.3

Đưa $3 {(x - 2)}^{2}$ ra ngoài $9 x {(x - 2)}^{2} + 3 {(x - 2)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.3.1

Đưa $3 {(x - 2)}^{2}$ ra ngoài $9 x {(x - 2)}^{2}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Bước 1.1.1.5.3.2

Đưa $3 {(x - 2)}^{2}$ ra ngoài $3 {(x - 2)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Bước 1.1.1.5.3.3

Đưa $3 {(x - 2)}^{2}$ ra ngoài $3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

Bước 1.1.1.5.4

Cộng $3 x$ và $x$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

Bước 1.1.1.5.5

Viết lại ${(x - 2)}^{2}$ ở dạng $(x - 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = 3 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

Bước 1.1.1.5.6

Khai triển $(x - 2) (x - 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Bước 1.1.1.5.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Bước 1.1.1.5.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Bước 1.1.1.5.7

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.7.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Bước 1.1.1.5.7.1.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Bước 1.1.1.5.7.1.3

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

Bước 1.1.1.5.7.2

Trừ $2 x$ khỏi $- 2 x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

Bước 1.1.1.5.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

Bước 1.1.1.5.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.9.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

Bước 1.1.1.5.9.2

Nhân $3$ với $4$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$

Bước 1.1.1.5.10

Khai triển $(3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Bước 1.1.1.5.11

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.11.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Bước 1.1.1.5.11.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.11.2.1

Di chuyển $x$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Bước 1.1.1.5.11.2.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.11.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Bước 1.1.1.5.11.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Bước 1.1.1.5.11.2.3

Cộng $1$ và $2$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Bước 1.1.1.5.11.3

Nhân $3$ với $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Bước 1.1.1.5.11.4

Nhân $- 2$ với $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Bước 1.1.1.5.11.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x \cdot x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Bước 1.1.1.5.11.6

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.11.6.1

Di chuyển $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 (x \cdot x)) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Bước 1.1.1.5.11.6.2

Nhân $x$ với $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x^{2}) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Bước 1.1.1.5.11.7

Nhân $- 12$ với $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Bước 1.1.1.5.11.8

Nhân $- 2$ với $- 12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Bước 1.1.1.5.11.9

Nhân $4$ với $12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x + 12 \cdot - 2$

Bước 1.1.1.5.11.10

Nhân $12$ với $- 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

Bước 1.1.1.5.12

Trừ $48 x^{2}$ khỏi $- 6 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

Bước 1.1.1.5.13

Cộng $24 x$ và $48 x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Bước 1.1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x^{3}$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Bước 1.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Bước 1.1.2.2.3

Nhân $3$ với $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Bước 1.1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 54 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Vì $- 54$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 54 x^{2}$ đối với $x$ là $- 54 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Bước 1.1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 (2 x) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Bước 1.1.2.3.3

Nhân $2$ với $- 54$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Bước 1.1.2.4

Tính $\frac{d}{d x} [72 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Vì $72$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $72 x$ đối với $x$ là $72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Bước 1.1.2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Bước 1.1.2.4.3

Nhân $72$ với $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Bước 1.1.2.5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.5.1

Vì $- 24$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 24$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + 0$

Bước 1.1.2.5.2

Cộng $36 x^{2} - 108 x + 72$ và $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72$

Bước 1.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $36 x^{2} - 108 x + 72$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72$

Bước 1.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$

Bước 1.2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Đưa $36$ ra ngoài $36 x^{2} - 108 x + 72$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Đưa $36$ ra ngoài $36 x^{2}$ .

$36 (x^{2}) - 108 x + 72 = 0$

Bước 1.2.2.1.2

Đưa $36$ ra ngoài $- 108 x$ .

$36 (x^{2}) + 36 (- 3 x) + 72 = 0$

Bước 1.2.2.1.3

Đưa $36$ ra ngoài $72$ .

$36 x^{2} + 36 (- 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

Bước 1.2.2.1.4

Đưa $36$ ra ngoài $36 x^{2} + 36 (- 3 x)$ .

$36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

Bước 1.2.2.1.5

Đưa $36$ ra ngoài $36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2$ .

$36 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Bước 1.2.2.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Phân tích $x^{2} - 3 x + 2$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $2$ và tổng của chúng là $- 3$ .

$- 2, - 1$

Bước 1.2.2.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$36 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Bước 1.2.2.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$36 (x - 2) (x - 1) = 0$

Bước 1.2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Bước 1.2.4

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 1.2.4.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 1.2.5

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 1.2.5.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 1.2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $36 (x - 2) (x - 1) = 0$ đúng.

$x = 2, 1$

Bước 2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 3

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 4

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, 1)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 108 \cdot 0 + 72$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 108 \cdot 0 + 72$

Bước 4.2.1.2

Nhân $36$ với $0$ .

$f'' (0) = 0 - 108 \cdot 0 + 72$

Bước 4.2.1.3

Nhân $- 108$ với $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 72$

Bước 4.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$f'' (0) = 0 + 72$

Bước 4.2.2.2

Cộng $0$ và $72$ .

$f'' (0) = 72$

Bước 4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $72$ .

$72$

Bước 4.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(- \infty, 1)$ vì $f'' (0)$ dương.

Lõm trên $(- \infty, 1)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(1, 2)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.5$ trong biểu thức.

$f'' (1.5) = 36 {(1.5)}^{2} - 108 \cdot 1.5 + 72$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $1.5$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (1.5) = 36 \cdot 2.25 - 108 \cdot 1.5 + 72$

Bước 5.2.1.2

Nhân $36$ với $2.25$ .

$f'' (1.5) = 81 - 108 \cdot 1.5 + 72$

Bước 5.2.1.3

Nhân $- 108$ với $1.5$ .

$f'' (1.5) = 81 - 162 + 72$

Bước 5.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Trừ $162$ khỏi $81$ .

$f'' (1.5) = - 81 + 72$

Bước 5.2.2.2

Cộng $- 81$ và $72$ .

$f'' (1.5) = - 9$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 9$ .

$- 9$

Bước 5.3

Đồ thị lồi trên khoảng $(1, 2)$ vì $f'' (1.5)$ âm.

Lồi trên $(1, 2)$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 6

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(2, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 108 \cdot 4 + 72$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 108 \cdot 4 + 72$

Bước 6.2.1.2

Nhân $36$ với $16$ .

$f'' (4) = 576 - 108 \cdot 4 + 72$

Bước 6.2.1.3

Nhân $- 108$ với $4$ .

$f'' (4) = 576 - 432 + 72$

Bước 6.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Trừ $432$ khỏi $576$ .

$f'' (4) = 144 + 72$

Bước 6.2.2.2

Cộng $144$ và $72$ .

$f'' (4) = 216$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $216$ .

$216$

Bước 6.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(2, \infty)$ vì $f'' (4)$ dương.

Lõm trên $(2, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 7

Đồ thị lồi khi đạo hàm bậc hai âm và lõm khi đạo hàm bậc hai dương.

Lõm trên $(- \infty, 1)$ vì $f'' (x)$ dương

Lồi trên $(1, 2)$ vì $f'' (x)$ âm

Lõm trên $(2, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 8