Giải tích Ví dụ

Tìm Các Điểm Uốn y=x^4-8x^3+16x^2
Bước 1
Viết ở dạng một hàm số.
Bước 2
Tìm đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1.1
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1.1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 2.1.1.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.1.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.1.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.1.2.3
Nhân với .
Bước 2.1.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.1.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.1.3.3
Nhân với .
Bước 2.2
Tìm đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 2.2.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.2.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.2.2.3
Nhân với .
Bước 2.2.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.2.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.2.3.3
Nhân với .
Bước 2.2.4
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.4.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.2.4.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.2.4.3
Nhân với .
Bước 2.3
Đạo hàm bậc hai của đối với .
Bước 3
Đặt đạo hàm bậc hai bằng sau đó giải phương trình .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1
Đặt đạo hàm bậc hai bằng .
Bước 3.2
Đưa ra ngoài .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 3.2.2
Đưa ra ngoài .
Bước 3.2.3
Đưa ra ngoài .
Bước 3.2.4
Đưa ra ngoài .
Bước 3.2.5
Đưa ra ngoài .
Bước 3.3
Chia mỗi số hạng trong cho và rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.1
Chia mỗi số hạng trong cho .
Bước 3.3.2
Rút gọn vế trái.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.1
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.1.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 3.3.2.1.2
Chia cho .
Bước 3.3.3
Rút gọn vế phải.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.3.1
Chia cho .
Bước 3.4
Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.
Bước 3.5
Thay các giá trị , , và vào công thức bậc hai và giải tìm .
Bước 3.6
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.6.1
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.6.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 3.6.1.2
Nhân .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.6.1.2.1
Nhân với .
Bước 3.6.1.2.2
Nhân với .
Bước 3.6.1.3
Trừ khỏi .
Bước 3.6.1.4
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.6.1.4.1
Đưa ra ngoài .
Bước 3.6.1.4.2
Viết lại ở dạng .
Bước 3.6.1.5
Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.
Bước 3.6.2
Nhân với .
Bước 3.6.3
Rút gọn .
Bước 3.7
Rút gọn biểu thức để giải tìm phần của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.7.1
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.7.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 3.7.1.2
Nhân .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.7.1.2.1
Nhân với .
Bước 3.7.1.2.2
Nhân với .
Bước 3.7.1.3
Trừ khỏi .
Bước 3.7.1.4
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.7.1.4.1
Đưa ra ngoài .
Bước 3.7.1.4.2
Viết lại ở dạng .
Bước 3.7.1.5
Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.
Bước 3.7.2
Nhân với .
Bước 3.7.3
Rút gọn .
Bước 3.7.4
Chuyển đổi thành .
Bước 3.8
Rút gọn biểu thức để giải tìm phần của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.8.1
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.8.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 3.8.1.2
Nhân .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.8.1.2.1
Nhân với .
Bước 3.8.1.2.2
Nhân với .
Bước 3.8.1.3
Trừ khỏi .
Bước 3.8.1.4
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.8.1.4.1
Đưa ra ngoài .
Bước 3.8.1.4.2
Viết lại ở dạng .
Bước 3.8.1.5
Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.
Bước 3.8.2
Nhân với .
Bước 3.8.3
Rút gọn .
Bước 3.8.4
Chuyển đổi thành .
Bước 3.9
Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.
Bước 4
Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1
Thay trong để tìm giá trị của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 4.1.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.2.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 4.1.2.1.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 4.1.2.1.3
Nhân với .
Bước 4.1.2.1.4
Nâng lên lũy thừa .
Bước 4.1.2.1.5
Nhân với .
Bước 4.1.2.2
Rút gọn bằng cách cộng và trừ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.2.2.1
Trừ khỏi .
Bước 4.1.2.2.2
Cộng .
Bước 4.1.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 4.2
Tìm điểm bằng cách thay thế trong . Điểm này có thể là một điểm uốn.
Bước 4.3
Thay trong để tìm giá trị của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.3.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 4.3.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.3.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.3.2.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 4.3.2.1.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 4.3.2.1.3
Nhân với .
Bước 4.3.2.1.4
Nâng lên lũy thừa .
Bước 4.3.2.1.5
Nhân với .
Bước 4.3.2.2
Rút gọn bằng cách cộng và trừ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.3.2.2.1
Trừ khỏi .
Bước 4.3.2.2.2
Cộng .
Bước 4.3.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 4.4
Tìm điểm bằng cách thay thế trong . Điểm này có thể là một điểm uốn.
Bước 4.5
Xác định các điểm có thể là điểm uốn.
Bước 5
Tách thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.
Bước 6
Thay một giá trị từ khoảng vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 6.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.2.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 6.2.1.2
Nhân với .
Bước 6.2.1.3
Nhân với .
Bước 6.2.2
Rút gọn bằng cách cộng và trừ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.2.2.1
Trừ khỏi .
Bước 6.2.2.2
Cộng .
Bước 6.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 6.3
Tại , đạo hàm bậc hai là . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng .
Tăng trên
Tăng trên
Bước 7
Thay một giá trị từ khoảng vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 7.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 7.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 7.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 7.2.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 7.2.1.2
Nhân với .
Bước 7.2.1.3
Nhân với .
Bước 7.2.2
Rút gọn bằng cách cộng và trừ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 7.2.2.1
Trừ khỏi .
Bước 7.2.2.2
Cộng .
Bước 7.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 7.3
Tại , đạo hàm bậc hai là . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng
Giảm trên
Giảm trên
Bước 8
Thay một giá trị từ khoảng vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 8.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 8.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 8.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 8.2.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 8.2.1.2
Nhân với .
Bước 8.2.1.3
Nhân với .
Bước 8.2.2
Rút gọn bằng cách cộng và trừ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 8.2.2.1
Trừ khỏi .
Bước 8.2.2.2
Cộng .
Bước 8.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 8.3
Tại , đạo hàm bậc hai là . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng .
Tăng trên
Tăng trên
Bước 9
Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Các điểm uốn trong trường hợp này là .
Bước 10