Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = x - 4$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Bước 1.1.2.3

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Bước 1.1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Bước 1.1.2.4.2

Nhân $x^{\frac{1}{3}}$ với $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Bước 1.1.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Bước 1.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 1.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 1.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 1.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Bước 1.1.6.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Bước 1.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Bước 1.1.8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Bước 1.1.9

Di chuyển $x^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 1.1.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + x (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.10.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.10.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.10.2.2

Di chuyển $x^{\frac{2}{3}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.10.2.3

Nhân $x$ với $x^{- \frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.10.2.3.1

Nhân $x$ với $x^{- \frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.10.2.3.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.10.2.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.10.2.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.10.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.10.2.3.4

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.10.2.4

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.10.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.10.2.6

Để viết $x^{\frac{1}{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.10.2.7

Kết hợp $x^{\frac{1}{3}}$ và $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.10.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.10.2.9

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.10.2.10

Cộng $3 x^{\frac{1}{3}}$ và $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Bước 2.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$

Bước 2.2.2

Since $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}$ .

Bước 2.2.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 2.2.4

Vì $3$ không có thừa số nào ngoài $1$ và $3$ .

$3$ là một số nguyên tố

Bước 2.2.5

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 2.2.6

BCNN của $3, 3, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$3$

Bước 2.2.7

BCNN của $x^{\frac{2}{3}}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$x^{\frac{2}{3}}$

Bước 2.2.8

BCNN cho $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ là phần số $3$ nhân với phần biến.

$3 x^{\frac{2}{3}}$

Bước 2.3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ với $3 x^{\frac{2}{3}}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ với $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 2.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 2.3.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 2.3.2.1.3

Nhân $x^{\frac{1}{3}}$ với $x^{\frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.1

Di chuyển $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 2.3.2.1.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 2.3.2.1.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 x^{\frac{2 + 1}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 2.3.2.1.3.4

Cộng $2$ và $1$ .

$4 x^{\frac{3}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 2.3.2.1.3.5

Chia $3$ cho $3$ .

$4 x^{1} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 2.3.2.1.4

Rút gọn $4 x^{1}$ .

$4 x - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 2.3.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ vào tử số.

$4 x + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 2.3.2.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 x + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 2.3.2.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$4 x - 4 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $0 (3 x^{\frac{2}{3}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Nhân $3$ với $0$ .

$4 x - 4 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Bước 2.3.3.1.2

Nhân $0$ với $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 x - 4 = 0$

Bước 2.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 x = 4$

Bước 2.4.2

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 4$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 4$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Bước 2.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Bước 2.4.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{4}{4}$

Bước 2.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.1

Chia $4$ cho $4$ .

$x = 1$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $1$ .

$1$

Bước 4

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.1.2

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Bước 4.1.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Bước 4.2

Đặt mẫu số trong $\frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Bước 4.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 4.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x^{2}}$ ở dạng $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 4.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Rút gọn ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 4.3.2.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 4.3.2.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 4.3.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 4.3.2.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Bước 4.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Bước 4.3.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $27 x^{2} = 0$ cho $27$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $27 x^{2} = 0$ cho $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Bước 4.3.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Bước 4.3.3.1.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Bước 4.3.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1.3.1

Chia $0$ cho $27$ .

$x^{2} = 0$

Bước 4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 4.3.3.3

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.3.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 4.3.3.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 4.3.3.3.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{4 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 6.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 6.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 6.2.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1)}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 6.2.1.1.4

Tính số mũ.

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 6.2.1.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 6.2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 6.2.1.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.4.1

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 6.2.1.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Bước 6.2.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Bước 6.2.1.4.3.2

Viết lại biểu thức.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{2}}$

Bước 6.2.1.4.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 \cdot 1}$

Bước 6.2.1.5

Nhân $3$ với $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3}$

Bước 6.2.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (- 1) = \frac{- 4 - 4}{3}$

Bước 6.2.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Trừ $4$ khỏi $- 4$ .

$f' (- 1) = \frac{- 8}{3}$

Bước 6.2.2.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 1) = - \frac{8}{3}$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{8}{3}$ .

$- \frac{8}{3}$

Bước 6.3

Tại $x = - 1$ đạo hàm là $- \frac{8}{3}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, 0)$ .

Giảm trên $(- \infty, 0)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(0, 1)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{1}{2}$ trong biểu thức.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 7.2.1.1.2

Viết lại $\frac{1}{2}$ ở dạng $2^{- 1}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(2^{- 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 7.2.1.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {({(2)}^{- 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 7.2.1.1.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 7.2.1.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(2^{- 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 7.2.1.1.6

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 7.2.1.1.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2 - \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 7.2.1.1.8

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 7.2.1.1.9

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 7.2.1.1.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 7.2.1.1.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1.11.1

Nhân $2$ với $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{6 - 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 7.2.1.1.11.2

Trừ $1$ khỏi $6$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 7.2.1.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{3 (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Bước 7.2.1.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{3 (\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Bước 7.2.1.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{\frac{3}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Bước 7.2.1.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - (4 (\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}))$

Bước 7.2.1.5

Nhân $4 \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.5.1

Kết hợp $4$ và $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Bước 7.2.1.5.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Bước 7.2.1.5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{2 + \frac{2}{3}}}{3}$

Bước 7.2.1.5.4

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3}$

Bước 7.2.1.5.5

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}}}{3}$

Bước 7.2.1.5.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}}}{3}$

Bước 7.2.1.5.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.5.7.1

Nhân $2$ với $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{6 + 2}{3}}}{3}$

Bước 7.2.1.5.7.2

Cộng $6$ và $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{3}$

Bước 7.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$

Bước 7.3

Tại $x = \frac{1}{2}$ đạo hàm là $\frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(0, 1)$ .

Giảm trên $(0, 1)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(1, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 8.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (2) = \frac{2^{2 + \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 8.2.1.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 8.2.1.4

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 8.2.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 8.2.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.6.1

Nhân $2$ với $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{6 + 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 8.2.1.6.2

Cộng $6$ và $1$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Bước 8.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Bước 8.3

Rút gọn.

$0.83994736$

Bước 8.4

Tại $x = 2$ đạo hàm là $0.83994736$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(1, \infty)$ .

Tăng trên $(1, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 9

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(1, \infty)$

Giảm trên: $(- \infty, 0), (0, 1)$

Bước 10