Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Bước 1.1.1.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Bước 1.1.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Bước 1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Bước 1.1.3.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Bước 1.1.3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{2}{x^{3}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{2}{x^{3}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{2}{x^{3}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$2 = 0$

Bước 2.3

Vì $2 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 3

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 4

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt mẫu số trong $\frac{2}{x^{3}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{3} = 0$

Bước 4.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \sqrt[3]{0}$

Bước 4.2.2

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 4.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$x = 0$

Bước 5

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f' (- 1) = - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{- 1}$

Bước 6.2.2

Chia $2$ cho $- 1$ .

$f' (- 1) = 2$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$2$

Bước 6.3

Tại $x = - 1$ đạo hàm là $2$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- \infty, 0)$ .

Tăng trên $(- \infty, 0)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = - \frac{2}{1}$

Bước 7.2.2

Chia $2$ cho $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Bước 7.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (1) = - 2$

Bước 7.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- 2$ .

$- 2$

Bước 7.3

Tại $x = 1$ đạo hàm là $- 2$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(0, \infty)$ .

Giảm trên $(0, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- \infty, 0)$

Giảm trên: $(0, \infty)$

Bước 9