Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{4} - 32 x + 4$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} - 32 x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $- 32$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 32 x$ đối với $x$ là $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 1.1.2.3

Nhân $- 32$ với $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 + 0$

Bước 1.1.3.2

Cộng $4 x^{3} - 32$ và $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $4 x^{3} - 32$ .

$4 x^{3} - 32$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $4 x^{3} - 32 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$4 x^{3} - 32 = 0$

Bước 2.2

Cộng $32$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 x^{3} = 32$

Bước 2.3

Trừ $32$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 x^{3} - 32 = 0$

Bước 2.4

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{3} - 32$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 32 = 0$

Bước 2.4.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 32$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot - 8 = 0$

Bước 2.4.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{3} + 4 \cdot - 8$ .

$4 (x^{3} - 8) = 0$

Bước 2.4.2

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$4 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Bước 2.4.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Bước 2.4.4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Bước 2.4.4.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Bước 2.4.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$4 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Bước 2.5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Bước 2.6

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 2.6.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 2.7

Đặt $x^{2} + 2 x + 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Đặt $x^{2} + 2 x + 4$ bằng với $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Bước 2.7.2

Giải $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.7.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 2$ , và $c = 4$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.3.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.3.1.3

Trừ $16$ khỏi $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.3.1.4

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.3.1.7

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.3.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.3.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.3.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.7.2.3.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Bước 2.7.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.4.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.4.1.3

Trừ $16$ khỏi $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.4.1.4

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.4.1.7

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.4.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.4.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.4.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.4.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.7.2.4.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Bước 2.7.2.4.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Bước 2.7.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.5.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.5.1.3

Trừ $16$ khỏi $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.5.1.4

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.5.1.7

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.5.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.5.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.5.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.5.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.7.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.7.2.5.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Bước 2.7.2.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Bước 2.7.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Bước 2.8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $4 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ đúng.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $2$ .

$2$

Bước 4

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = 4 x^{3} - 32$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = x^{4} - 32 x + 4$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 2)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 32$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 32$

Bước 5.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$f' (1) = 4 - 32$

Bước 5.2.2

Trừ $32$ khỏi $4$ .

$f' (1) = - 28$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 28$ .

$- 28$

Bước 5.3

Tại $x = 1$ đạo hàm là $- 28$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, 2)$ .

Giảm trên $(- \infty, 2)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(2, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 32$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 32$

Bước 6.2.1.2

Nhân $4$ với $27$ .

$f' (3) = 108 - 32$

Bước 6.2.2

Trừ $32$ khỏi $108$ .

$f' (3) = 76$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $76$ .

$76$

Bước 6.3

Tại $x = 3$ đạo hàm là $76$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(2, \infty)$ .

Tăng trên $(2, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(2, \infty)$

Giảm trên: $(- \infty, 2)$

Bước 8