Giải tích Ví dụ

$y = x \sqrt{x}$

Bước 1

Thiết lập $y$ ở dạng một hàm số của $x$ .

$f (x) = x \sqrt{x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Bước 2.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Bước 2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Bước 2.2.4

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Bước 2.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 2.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Bước 2.7.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.8

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 3

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho tử bằng không.

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Bước 3.2

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ cho $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 3.2.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 3.2.1.2.2

Chia $x^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{3}$

Bước 3.2.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.3.1

Chia $0$ cho $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Bước 3.2.2

Lấy mũ lũy thừa $2$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 3.2.3

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 3.2.3.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 3.2.3.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} = 0^{2}$

Bước 3.2.3.1.1.2

Rút gọn.

$x = 0^{2}$

Bước 3.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$x = 0$

Bước 4

Giải hàm số ban đầu $f (x) = x \sqrt{x}$ tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

Bước 4.2.2

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$f (0) = 0 \sqrt{0^{2}}$

Bước 4.2.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (0) = 0 \cdot 0$

Bước 4.2.4

Nhân $0$ với $0$ .

$f (0) = 0$

Bước 4.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 5

Đường tiếp tuyến ngang của hàm $f (x) = x \sqrt{x}$ là $y = 0$ .

$y = 0$

Bước 6