Giải tích Ví dụ

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$

Bước 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 1.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 4$ , và $c = 4 x^{2} - 8 x + 4$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Viết lại $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ ở dạng ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 4$ và $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.3.4

Nhân $2$ với $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.3.5

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.3.6

Cộng $4 x$ và $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.3.7

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.3.7.1

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.3.7.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.4.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.4.3

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.5

Cộng $4$ và $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.6

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 x + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.6.2

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.6.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.7

Nhân $4$ với $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.8

Viết lại $16 x (- x + 2)$ ở dạng ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.8.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.8.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.8.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.9

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.10

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Bước 1.3.3

Rút gọn $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Bước 1.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Viết lại $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ ở dạng ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.2

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.3.4

Nhân $2$ với $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.3.5

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.3.6

Cộng $4 x$ và $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.3.7

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.3.7.1

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.3.7.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.4.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.4.3

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.5

Cộng $4$ và $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.6

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 x + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.6.2

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.6.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.7

Nhân $4$ với $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.8

Viết lại $16 x (- x + 2)$ ở dạng ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.8.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.8.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.8.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.9

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.10

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Bước 1.4.3

Rút gọn $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Bước 1.4.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Bước 1.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Viết lại $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ ở dạng ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.2

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.3.4

Nhân $2$ với $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.3.5

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.3.6

Cộng $4 x$ và $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.3.7

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.3.7.1

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.3.7.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.4.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.4.3

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.5

Cộng $4$ và $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.6

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 x + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.6.2

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.6.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.7

Nhân $4$ với $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.8

Viết lại $16 x (- x + 2)$ ở dạng ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.8.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.8.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.8.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.9

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.10

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Bước 1.5.3

Rút gọn $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Bước 1.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Bước 1.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Bước 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Bước 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4) = \frac{d}{d x} (0)$

Bước 3.2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.2.3

Nhân $2$ với $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$8 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$8 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$8 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$8 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 8 x$ đối với $x$ là $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 2 y y' - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 x + 2 y y' - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.4.3

Nhân $- 8$ với $1$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.5

Tính $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 y$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.5.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.6

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + 0$

Bước 3.2.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1

Cộng $8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$ và $0$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$

Bước 3.2.7.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8$

Bước 3.3

Vì $0$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 3.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8 = 0$

Bước 3.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Trừ $8 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y y' + 4 y' - 8 = - 8 x$

Bước 3.5.1.2

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 y y' + 4 y' = - 8 x + 8$

Bước 3.5.2

Đưa $2 y'$ ra ngoài $2 y y' + 4 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Đưa $2 y'$ ra ngoài $2 y y'$ .

$2 y' y + 4 y' = - 8 x + 8$

Bước 3.5.2.2

Đưa $2 y'$ ra ngoài $4 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot 2 = - 8 x + 8$

Bước 3.5.2.3

Đưa $2 y'$ ra ngoài $2 y' y + 2 y' \cdot 2$ .

$2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$

Bước 3.5.3

Chia mỗi số hạng trong $2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ cho $2 (y + 2)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ cho $2 (y + 2)$ .

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Bước 3.5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Bước 3.5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Bước 3.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Bước 3.5.3.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Bước 3.5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.3.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 8 x$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Bước 3.5.3.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.3.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Bước 3.5.3.3.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{- 4 x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Bước 3.5.3.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{(4) x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Bước 3.5.3.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.3.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

Bước 3.5.3.3.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.3.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

Bước 3.5.3.3.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{4}{y + 2}$

Bước 3.5.3.3.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.3.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- 4 x + 4}{y + 2}$

Bước 3.5.3.3.2.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 x + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.3.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 x$ .

$y' = \frac{4 (- x) + 4}{y + 2}$

Bước 3.5.3.3.2.2.2

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$y' = \frac{4 (- x) + 4 (1)}{y + 2}$

Bước 3.5.3.3.2.2.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (- x) + 4 (1)$ .

$y' = \frac{4 (- x + 1)}{y + 2}$

Bước 3.5.3.3.2.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$y' = \frac{4 (- (x) + 1)}{y + 2}$

Bước 3.5.3.3.2.4

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{4 (- (x) - 1 (- 1))}{y + 2}$

Bước 3.5.3.3.2.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{4 (- (x - 1))}{y + 2}$

Bước 3.5.3.3.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.3.2.6.1

Viết lại $- (x - 1)$ ở dạng $- 1 (x - 1)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (x - 1))}{y + 2}$

Bước 3.5.3.3.2.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

Bước 3.6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

Bước 4

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $- \frac{4 (x - 1)}{y + 2} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Cho tử bằng không.

$4 (x - 1) = 0$

Bước 4.2

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 (x - 1) = 0$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Chia mỗi số hạng trong $4 (x - 1) = 0$ cho $4$ .

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 4.2.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 4.2.1.2.1.2

Chia $x - 1$ cho $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{4}$

Bước 4.2.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.3.1

Chia $0$ cho $4$ .

$x - 1 = 0$

Bước 4.2.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 5

Solve the function $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nhân $- (1) + 2$ với $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- (1) + 2}$

Bước 5.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- 1 + 2}$

Bước 5.2.1.3

Cộng $- 1$ và $2$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{1}$

Bước 5.2.1.4

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \cdot 1$

Bước 5.2.1.5

Nhân $2$ với $1$ .

$f (1) = - 2 + 2$

Bước 5.2.2

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f (1) = 0$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 6

Solve the function $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân $- (1) + 2$ với $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- (1) + 2}$

Bước 6.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- 1 + 2}$

Bước 6.2.1.3

Cộng $- 1$ và $2$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{1}$

Bước 6.2.1.4

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \cdot 1$

Bước 6.2.1.5

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f (1) = - 2 - 2$

Bước 6.2.2

Trừ $2$ khỏi $- 2$ .

$f (1) = - 4$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 4$ .

$- 4$

Bước 7

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = - 4$

$y = 0, y = - 4$

Bước 8